Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83522 / 20700
↖ ↑ ↗
← N 76.702546°
E 49.400025°		 ← 70.24 m → N 76.702546°
E 49.402771°		 →
↑
70.27 m
↓
↑
70.27 m
↓
N 76.701914°
E 49.400025°		 ← 70.24 m →
4 936 m²		 N 76.701914°
E 49.402771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637226104736328 y=0.157932281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637226104736328 × 217)
    floor (0.637226104736328 × 131072)
    floor (83522.5)     		tx = 83522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157932281494141 × 217)
    floor (0.157932281494141 × 131072)
    floor (20700.5)     		ty = 20700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83522 / 20700 ti = "17/83522/20700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83522/20700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83522 ÷ 217
    83522 ÷ 131072     		x = 0.637222290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20700 ÷ 217
    20700 ÷ 131072     		y = 0.157928466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637222290039062 × 2 - 1) × π
    0.274444580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86219308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157928466796875 × 2 - 1) × π
    0.68414306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14929883136484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86219308} λ = 0.86219308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14929883136484))-π/2
    2×atan(8.57884107355831)-π/2
    2×1.45475415263672-π/2
    2.90950830527343-1.57079632675     		φ = 1.33871198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86219308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.400025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33871198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.702546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83522 KachelY 20700 0.86219308 1.33871198 49.400025 76.702546
    Oben rechts KachelX + 1 83523 KachelY 20700 0.86224101 1.33871198 49.402771 76.702546
    Unten links KachelX 83522 KachelY + 1 20701 0.86219308 1.33870095 49.400025 76.701914
    Unten rechts KachelX + 1 83523 KachelY + 1 20701 0.86224101 1.33870095 49.402771 76.701914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33871198-1.33870095) × R
    1.1030000000023e-05 × 6371000     		dl = 70.2721300001463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33871198-1.33870095) × R
    1.1030000000023e-05 × 6371000     		dr = 70.2721300001463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86219308-0.86224101) × cos(1.33871198) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.230006485271245 × 6371000     		do = 70.2352472556354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86219308-0.86224101) × cos(1.33870095) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.230017219532983 × 6371000     		du = 70.2385250915904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33871198)-sin(1.33870095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230006485271245-0.230017219532983)×R²
    abs(0.86224101-0.86219308)×1.07342617381989e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07342617381989e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07342617381989e-05×40589641000000     		ar = 4935.69559609895m²