Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83522 / 19778
↖ ↑ ↗
← N 77.272645°
E 49.400025°		 ← 67.27 m → N 77.272645°
E 49.402771°		 →
↑
67.28 m
↓
↑
67.28 m
↓
N 77.272040°
E 49.400025°		 ← 67.28 m →
4 526 m²		 N 77.272040°
E 49.402771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637226104736328 y=0.150897979736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637226104736328 × 217)
    floor (0.637226104736328 × 131072)
    floor (83522.5)     		tx = 83522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150897979736328 × 217)
    floor (0.150897979736328 × 131072)
    floor (19778.5)     		ty = 19778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83522 / 19778 ti = "17/83522/19778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83522/19778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83522 ÷ 217
    83522 ÷ 131072     		x = 0.637222290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19778 ÷ 217
    19778 ÷ 131072     		y = 0.150894165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637222290039062 × 2 - 1) × π
    0.274444580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86219308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150894165039062 × 2 - 1) × π
    0.698211669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19349665281453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86219308} λ = 0.86219308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19349665281453))-π/2
    2×atan(8.96651114005994)-π/2
    2×1.45972919825469-π/2
    2.91945839650937-1.57079632675     		φ = 1.34866207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86219308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.400025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34866207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.272645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83522 KachelY 19778 0.86219308 1.34866207 49.400025 77.272645
    Oben rechts KachelX + 1 83523 KachelY 19778 0.86224101 1.34866207 49.402771 77.272645
    Unten links KachelX 83522 KachelY + 1 19779 0.86219308 1.34865151 49.400025 77.272040
    Unten rechts KachelX + 1 83523 KachelY + 1 19779 0.86224101 1.34865151 49.402771 77.272040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34866207-1.34865151) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dl = 67.2777599999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34866207-1.34865151) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dr = 67.2777599999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86219308-0.86224101) × cos(1.34866207) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220311940238544 × 6371000     		do = 67.2749013045217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86219308-0.86224101) × cos(1.34865151) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220322240761453 × 6371000     		du = 67.2780466931071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34866207)-sin(1.34865151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220311940238544-0.220322240761453)×R²
    abs(0.86224101-0.86219308)×1.03005229085129e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03005229085129e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03005229085129e-05×40589641000000     		ar = 4526.21047149754m²