Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83521 / 20699
↖ ↑ ↗
← N 76.703178°
E 49.397278°		 ← 70.25 m → N 76.703178°
E 49.400025°		 →
↑
70.21 m
↓
↑
70.21 m
↓
N 76.702546°
E 49.397278°		 ← 70.25 m →
4 932 m²		 N 76.702546°
E 49.400025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637218475341797 y=0.157924652099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637218475341797 × 217)
    floor (0.637218475341797 × 131072)
    floor (83521.5)     		tx = 83521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157924652099609 × 217)
    floor (0.157924652099609 × 131072)
    floor (20699.5)     		ty = 20699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83521 / 20699 ti = "17/83521/20699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83521/20699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83521 ÷ 217
    83521 ÷ 131072     		x = 0.637214660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20699 ÷ 217
    20699 ÷ 131072     		y = 0.157920837402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637214660644531 × 2 - 1) × π
    0.274429321289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.86214514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157920837402344 × 2 - 1) × π
    0.684158325195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.14934676826446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86214514} λ = 0.86214514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14934676826446))-π/2
    2×atan(8.57925232645872)-π/2
    2×1.45475966540706-π/2
    2.90951933081412-1.57079632675     		φ = 1.33872300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86214514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.397278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33872300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.703178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83521 KachelY 20699 0.86214514 1.33872300 49.397278 76.703178
    Oben rechts KachelX + 1 83522 KachelY 20699 0.86219308 1.33872300 49.400025 76.703178
    Unten links KachelX 83521 KachelY + 1 20700 0.86214514 1.33871198 49.397278 76.702546
    Unten rechts KachelX + 1 83522 KachelY + 1 20700 0.86219308 1.33871198 49.400025 76.702546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33872300-1.33871198) × R
    1.10200000000837e-05 × 6371000     		dl = 70.2084200005335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33872300-1.33871198) × R
    1.10200000000837e-05 × 6371000     		dr = 70.2084200005335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86214514-0.86219308) × cos(1.33872300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22999576071344 × 6371000     		do = 70.2466254127193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86214514-0.86219308) × cos(1.33871198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230006485271245 × 6371000     		du = 70.249900968723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33872300)-sin(1.33871198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22999576071344-0.230006485271245)×R²
    abs(0.86219308-0.86214514)×1.07245578047366e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07245578047366e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07245578047366e-05×40589641000000     		ar = 4932.01956646395m²