Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83514 / 20649
↖ ↑ ↗
← N 76.734727°
E 49.378052°		 ← 70.08 m → N 76.734727°
E 49.380798°		 →
↑
70.08 m
↓
↑
70.08 m
↓
N 76.734096°
E 49.378052°		 ← 70.09 m →
4 912 m²		 N 76.734096°
E 49.380798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637165069580078 y=0.157543182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637165069580078 × 217)
    floor (0.637165069580078 × 131072)
    floor (83514.5)     		tx = 83514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157543182373047 × 217)
    floor (0.157543182373047 × 131072)
    floor (20649.5)     		ty = 20649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83514 / 20649 ti = "17/83514/20649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83514/20649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83514 ÷ 217
    83514 ÷ 131072     		x = 0.637161254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20649 ÷ 217
    20649 ÷ 131072     		y = 0.157539367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637161254882812 × 2 - 1) × π
    0.274322509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86180958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157539367675781 × 2 - 1) × π
    0.684921264648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.15174361324546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86180958} λ = 0.86180958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15174361324546))-π/2
    2×atan(8.59984012736561)-π/2
    2×1.45503497626236-π/2
    2.91006995252472-1.57079632675     		φ = 1.33927363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86180958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.378052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33927363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.734727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83514 KachelY 20649 0.86180958 1.33927363 49.378052 76.734727
    Oben rechts KachelX + 1 83515 KachelY 20649 0.86185752 1.33927363 49.380798 76.734727
    Unten links KachelX 83514 KachelY + 1 20650 0.86180958 1.33926263 49.378052 76.734096
    Unten rechts KachelX + 1 83515 KachelY + 1 20650 0.86185752 1.33926263 49.380798 76.734096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33927363-1.33926263) × R
    1.10000000002053e-05 × 6371000     		dl = 70.0810000013079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33927363-1.33926263) × R
    1.10000000002053e-05 × 6371000     		dr = 70.0810000013079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86180958-0.86185752) × cos(1.33927363) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.229459857366312 × 6371000     		do = 70.0829467365168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86180958-0.86185752) × cos(1.33926263) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.229470563851813 × 6371000     		du = 70.0862167727736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33927363)-sin(1.33926263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229459857366312-0.229470563851813)×R²
    abs(0.86185752-0.86180958)×1.07064855005834e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.07064855005834e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.07064855005834e-05×40589641000000     		ar = 4911.59757397834m²