Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83512 / 20653
↖ ↑ ↗
← N 76.732205°
E 49.372559°		 ← 70.08 m → N 76.732205°
E 49.375305°		 →
↑
70.08 m
↓
↑
70.08 m
↓
N 76.731575°
E 49.372559°		 ← 70.08 m →
4 911 m²		 N 76.731575°
E 49.375305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637149810791016 y=0.157573699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637149810791016 × 217)
    floor (0.637149810791016 × 131072)
    floor (83512.5)     		tx = 83512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157573699951172 × 217)
    floor (0.157573699951172 × 131072)
    floor (20653.5)     		ty = 20653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83512 / 20653 ti = "17/83512/20653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83512/20653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83512 ÷ 217
    83512 ÷ 131072     		x = 0.63714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20653 ÷ 217
    20653 ÷ 131072     		y = 0.157569885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63714599609375 × 2 - 1) × π
    0.2742919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86171371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157569885253906 × 2 - 1) × π
    0.684860229492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.15155186564698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86171371} λ = 0.86171371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15155186564698))-π/2
    2×atan(8.59819128675954)-π/2
    2×1.45501297502067-π/2
    2.91002595004135-1.57079632675     		φ = 1.33922962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86171371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.372559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33922962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.732205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83512 KachelY 20653 0.86171371 1.33922962 49.372559 76.732205
    Oben rechts KachelX + 1 83513 KachelY 20653 0.86176164 1.33922962 49.375305 76.732205
    Unten links KachelX 83512 KachelY + 1 20654 0.86171371 1.33921862 49.372559 76.731575
    Unten rechts KachelX + 1 83513 KachelY + 1 20654 0.86176164 1.33921862 49.375305 76.731575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33922962-1.33921862) × R
    1.09999999999832e-05 × 6371000     		dl = 70.0809999998933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33922962-1.33921862) × R
    1.09999999999832e-05 × 6371000     		dr = 70.0809999998933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86171371-0.86176164) × cos(1.33922962) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.229502692874794 × 6371000     		do = 70.0814081867564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86171371-0.86176164) × cos(1.33921862) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.229513399249197 × 6371000     		du = 70.0846775069782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33922962)-sin(1.33921862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229502692874794-0.229513399249197)×R²
    abs(0.86176164-0.86171371)×1.07063744035907e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07063744035907e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07063744035907e-05×40589641000000     		ar = 4911.48972577003m²