Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83512 / 20647
↖ ↑ ↗
← N 76.735987°
E 49.372559°		 ← 70.06 m → N 76.735987°
E 49.375305°		 →
↑
70.02 m
↓
↑
70.02 m
↓
N 76.735357°
E 49.372559°		 ← 70.07 m →
4 906 m²		 N 76.735357°
E 49.375305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637149810791016 y=0.157527923583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637149810791016 × 217)
    floor (0.637149810791016 × 131072)
    floor (83512.5)     		tx = 83512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157527923583984 × 217)
    floor (0.157527923583984 × 131072)
    floor (20647.5)     		ty = 20647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83512 / 20647 ti = "17/83512/20647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83512/20647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83512 ÷ 217
    83512 ÷ 131072     		x = 0.63714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20647 ÷ 217
    20647 ÷ 131072     		y = 0.157524108886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63714599609375 × 2 - 1) × π
    0.2742919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86171371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157524108886719 × 2 - 1) × π
    0.684951782226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.1518394870447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86171371} λ = 0.86171371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1518394870447))-π/2
    2×atan(8.60066466623668)-π/2
    2×1.45504597534351-π/2
    2.91009195068702-1.57079632675     		φ = 1.33929562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86171371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.372559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33929562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.735987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83512 KachelY 20647 0.86171371 1.33929562 49.372559 76.735987
    Oben rechts KachelX + 1 83513 KachelY 20647 0.86176164 1.33929562 49.375305 76.735987
    Unten links KachelX 83512 KachelY + 1 20648 0.86171371 1.33928463 49.372559 76.735357
    Unten rechts KachelX + 1 83513 KachelY + 1 20648 0.86176164 1.33928463 49.375305 76.735357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33929562-1.33928463) × R
    1.0989999999822e-05 × 6371000     		dl = 70.0172899988658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33929562-1.33928463) × R
    1.0989999999822e-05 × 6371000     		dr = 70.0172899988658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86171371-0.86176164) × cos(1.33929562) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.229438454045251 × 6371000     		do = 70.0617920873624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86171371-0.86176164) × cos(1.33928463) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.229449150853047 × 6371000     		du = 70.0650584863057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33929562)-sin(1.33928463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229438454045251-0.229449150853047)×R²
    abs(0.86176164-0.86171371)×1.06968077964731e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06968077964731e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06968077964731e-05×40589641000000     		ar = 4905.65116665627m²