Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8351 / 25449
↖ ↑ ↗
← S 70.054345°
W 88.253174°		 ← 416.74 m → S 70.054345°
W 88.242187°		 →
↑
416.66 m
↓
↑
416.66 m
↓
S 70.058092°
W 88.253174°		 ← 416.66 m →
173 623 m²		 S 70.058092°
W 88.242187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.254867553710938 y=0.776657104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.254867553710938 × 215)
    floor (0.254867553710938 × 32768)
    floor (8351.5)     		tx = 8351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776657104492188 × 215)
    floor (0.776657104492188 × 32768)
    floor (25449.5)     		ty = 25449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8351 / 25449 ti = "15/8351/25449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8351/25449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8351 ÷ 215
    8351 ÷ 32768     		x = 0.254852294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25449 ÷ 215
    25449 ÷ 32768     		y = 0.776641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.254852294921875 × 2 - 1) × π
    -0.49029541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.54030846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.55328369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73819198022324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.54030846} λ = -1.54030846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73819198022324))-π/2
    2×atan(0.175838032027948)-π/2
    2×0.174058680507172-π/2
    0.348117361014345-1.57079632675     		φ = -1.22267897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.54030846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.253174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22267897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.054345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8351 KachelY 25449 -1.54030846 -1.22267897 -88.253174 -70.054345
    Oben rechts KachelX + 1 8352 KachelY 25449 -1.54011671 -1.22267897 -88.242187 -70.054345
    Unten links KachelX 8351 KachelY + 1 25450 -1.54030846 -1.22274437 -88.253174 -70.058092
    Unten rechts KachelX + 1 8352 KachelY + 1 25450 -1.54011671 -1.22274437 -88.242187 -70.058092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22267897--1.22274437) × R
    6.53999999999932e-05 × 6371000     		dl = 416.663399999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22267897--1.22274437) × R
    6.53999999999932e-05 × 6371000     		dr = 416.663399999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.54030846--1.54011671) × cos(-1.22267897) × R
    0.000191750000000157 × 0.341128697171287 × 6371000     		do = 416.73620576615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.54030846--1.54011671) × cos(-1.22274437) × R
    0.000191750000000157 × 0.341067219356032 × 6371000     		du = 416.661102054029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22267897)-sin(-1.22274437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341128697171287-0.341067219356032)×R²
    abs(-1.54011671--1.54030846)×6.14778152555617e-05×R²
    0.000191750000000157×6.14778152555617e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.14778152555617e-05×40589641000000     		ar = 173623.077975398m²