Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83503 / 20658
↖ ↑ ↗
← N 76.729053°
E 49.347840°		 ← 70.10 m → N 76.729053°
E 49.350586°		 →
↑
70.14 m
↓
↑
70.14 m
↓
N 76.728422°
E 49.347840°		 ← 70.10 m →
4 917 m²		 N 76.728422°
E 49.350586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637081146240234 y=0.157611846923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637081146240234 × 217)
    floor (0.637081146240234 × 131072)
    floor (83503.5)     		tx = 83503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157611846923828 × 217)
    floor (0.157611846923828 × 131072)
    floor (20658.5)     		ty = 20658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83503 / 20658 ti = "17/83503/20658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83503/20658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83503 ÷ 217
    83503 ÷ 131072     		x = 0.637077331542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20658 ÷ 217
    20658 ÷ 131072     		y = 0.157608032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637077331542969 × 2 - 1) × π
    0.274154663085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.86128228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157608032226562 × 2 - 1) × π
    0.684783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15131218114888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86128228} λ = 0.86128228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15131218114888))-π/2
    2×atan(8.59613068055395)-π/2
    2×1.45498546769377-π/2
    2.90997093538753-1.57079632675     		φ = 1.33917461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86128228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.347840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33917461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.729053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83503 KachelY 20658 0.86128228 1.33917461 49.347840 76.729053
    Oben rechts KachelX + 1 83504 KachelY 20658 0.86133021 1.33917461 49.350586 76.729053
    Unten links KachelX 83503 KachelY + 1 20659 0.86128228 1.33916360 49.347840 76.728422
    Unten rechts KachelX + 1 83504 KachelY + 1 20659 0.86133021 1.33916360 49.350586 76.728422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33917461-1.33916360) × R
    1.10099999999225e-05 × 6371000     		dl = 70.1447099995061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33917461-1.33916360) × R
    1.10099999999225e-05 × 6371000     		dr = 70.1447099995061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86128228-0.86133021) × cos(1.33917461) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.229556234202042 × 6371000     		do = 70.0977576751338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86128228-0.86133021) × cos(1.33916360) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22956695017048 × 6371000     		du = 70.1010299250096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33917461)-sin(1.33916360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229556234202042-0.22956695017048)×R²
    abs(0.86133021-0.86128228)×1.07159684384905e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07159684384905e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07159684384905e-05×40589641000000     		ar = 4917.10164914137m²