Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83501 / 20657
↖ ↑ ↗
← N 76.729683°
E 49.342346°		 ← 70.11 m → N 76.729683°
E 49.345093°		 →
↑
70.08 m
↓
↑
70.08 m
↓
N 76.729053°
E 49.342346°		 ← 70.11 m →
4 913 m²		 N 76.729053°
E 49.345093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637065887451172 y=0.157604217529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637065887451172 × 217)
    floor (0.637065887451172 × 131072)
    floor (83501.5)     		tx = 83501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157604217529297 × 217)
    floor (0.157604217529297 × 131072)
    floor (20657.5)     		ty = 20657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83501 / 20657 ti = "17/83501/20657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83501/20657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83501 ÷ 217
    83501 ÷ 131072     		x = 0.637062072753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20657 ÷ 217
    20657 ÷ 131072     		y = 0.157600402832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637062072753906 × 2 - 1) × π
    0.274124145507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.86118640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157600402832031 × 2 - 1) × π
    0.684799194335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.1513601180485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86118640} λ = 0.86118640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1513601180485))-π/2
    2×atan(8.59654276228438)-π/2
    2×1.45499096967252-π/2
    2.90998193934505-1.57079632675     		φ = 1.33918561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86118640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.342346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33918561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.729683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83501 KachelY 20657 0.86118640 1.33918561 49.342346 76.729683
    Oben rechts KachelX + 1 83502 KachelY 20657 0.86123434 1.33918561 49.345093 76.729683
    Unten links KachelX 83501 KachelY + 1 20658 0.86118640 1.33917461 49.342346 76.729053
    Unten rechts KachelX + 1 83502 KachelY + 1 20658 0.86123434 1.33917461 49.345093 76.729053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33918561-1.33917461) × R
    1.09999999999832e-05 × 6371000     		dl = 70.0809999998933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33918561-1.33917461) × R
    1.09999999999832e-05 × 6371000     		dr = 70.0809999998933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86118640-0.86123434) × cos(1.33918561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229545527938756 × 6371000     		do = 70.1091127343391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86118640-0.86123434) × cos(1.33917461) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229556234202042 × 6371000     		du = 70.1123827027259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33918561)-sin(1.33917461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229545527938756-0.229556234202042)×R²
    abs(0.86123434-0.86118640)×1.07062632860866e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07062632860866e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07062632860866e-05×40589641000000     		ar = 4913.4313108783m²