Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8350 / 6111
↖ ↑ ↗
← N 41.525030°
E  3.471680°		 ← 1 829.20 m → N 41.525030°
E  3.493653°		 →
↑
1 829.43 m
↓
↑
1 829.43 m
↓
N 41.508577°
E  3.471680°		 ← 1 829.67 m →
3 346 824 m²		 N 41.508577°
E  3.493653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509674072265625 y=0.373016357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509674072265625 × 214)
    floor (0.509674072265625 × 16384)
    floor (8350.5)     		tx = 8350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373016357421875 × 214)
    floor (0.373016357421875 × 16384)
    floor (6111.5)     		ty = 6111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8350 / 6111 ti = "14/8350/6111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8350/6111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8350 ÷ 214
    8350 ÷ 16384     		x = 0.5096435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6111 ÷ 214
    6111 ÷ 16384     		y = 0.37298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5096435546875 × 2 - 1) × π
    0.019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06059224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37298583984375 × 2 - 1) × π
    0.2540283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.798053504874695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06059224} λ = 0.06059224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.798053504874695))-π/2
    2×atan(2.22121313730266)-π/2
    2×1.14777240740942-π/2
    2.29554481481884-1.57079632675     		φ = 0.72474849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06059224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.471680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72474849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.525030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8350 KachelY 6111 0.06059224 0.72474849 3.471680 41.525030
    Oben rechts KachelX + 1 8351 KachelY 6111 0.06097574 0.72474849 3.493653 41.525030
    Unten links KachelX 8350 KachelY + 1 6112 0.06059224 0.72446134 3.471680 41.508577
    Unten rechts KachelX + 1 8351 KachelY + 1 6112 0.06097574 0.72446134 3.493653 41.508577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72474849-0.72446134) × R
    0.000287150000000014 × 6371000     		dl = 1829.43265000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72474849-0.72446134) × R
    0.000287150000000014 × 6371000     		dr = 1829.43265000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06059224-0.06097574) × cos(0.72474849) × R
    0.000383500000000002 × 0.748666183485572 × 6371000     		do = 1829.19998978736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06059224-0.06097574) × cos(0.72446134) × R
    0.000383500000000002 × 0.748856517896165 × 6371000     		du = 1829.66502976057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72474849)-sin(0.72446134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748666183485572-0.748856517896165)×R²
    abs(0.06097574-0.06059224)×0.000190334410592796×R²
    0.000383500000000002×0.000190334410592796×6371000²
    0.000383500000000002×0.000190334410592796×40589641000000     		ar = 3346823.58734806m²