Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8350 / 24894
↖ ↑ ↗
← N 39.647998°
W134.132080°		 ← 470.29 m → N 39.647998°
W134.126587°		 →
↑
470.37 m
↓
↑
470.37 m
↓
N 39.643767°
W134.132080°		 ← 470.32 m →
221 219 m²		 N 39.643767°
W134.126587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127418518066406 y=0.379859924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127418518066406 × 216)
    floor (0.127418518066406 × 65536)
    floor (8350.5)     		tx = 8350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379859924316406 × 216)
    floor (0.379859924316406 × 65536)
    floor (24894.5)     		ty = 24894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8350 / 24894 ti = "16/8350/24894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8350/24894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8350 ÷ 216
    8350 ÷ 65536     		x = 0.127410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24894 ÷ 216
    24894 ÷ 65536     		y = 0.379852294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.74517822265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34104643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379852294921875 × 2 - 1) × π
    0.24029541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.754910295216644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34104643} λ = -2.34104643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.754910295216644))-π/2
    2×atan(2.12742067498466)-π/2
    2×1.13139221094967-π/2
    2.26278442189934-1.57079632675     		φ = 0.69198810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34104643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69198810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.647998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8350 KachelY 24894 -2.34104643 0.69198810 -134.132080 39.647998
    Oben rechts KachelX + 1 8351 KachelY 24894 -2.34095056 0.69198810 -134.126587 39.647998
    Unten links KachelX 8350 KachelY + 1 24895 -2.34104643 0.69191427 -134.132080 39.643767
    Unten rechts KachelX + 1 8351 KachelY + 1 24895 -2.34095056 0.69191427 -134.126587 39.643767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69198810-0.69191427) × R
    7.38299999999414e-05 × 6371000     		dl = 470.370929999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69198810-0.69191427) × R
    7.38299999999414e-05 × 6371000     		dr = 470.370929999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34104643--2.34095056) × cos(0.69198810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769978992068307 × 6371000     		do = 470.293751512238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34104643--2.34095056) × cos(0.69191427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.770026098621537 × 6371000     		du = 470.322523618838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69198810)-sin(0.69191427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769978992068307-0.770026098621537)×R²
    abs(-2.34095056--2.34104643)×4.71065532304804e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71065532304804e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71065532304804e-05×40589641000000     		ar = 221219.276153526m²