Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8350 / 24890
↖ ↑ ↗
← N 39.664914°
W134.132080°		 ← 470.18 m → N 39.664914°
W134.126587°		 →
↑
470.18 m
↓
↑
470.18 m
↓
N 39.660685°
W134.132080°		 ← 470.21 m →
221 075 m²		 N 39.660685°
W134.126587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127418518066406 y=0.379798889160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127418518066406 × 216)
    floor (0.127418518066406 × 65536)
    floor (8350.5)     		tx = 8350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379798889160156 × 216)
    floor (0.379798889160156 × 65536)
    floor (24890.5)     		ty = 24890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8350 / 24890 ti = "16/8350/24890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8350/24890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8350 ÷ 216
    8350 ÷ 65536     		x = 0.127410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24890 ÷ 216
    24890 ÷ 65536     		y = 0.379791259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.74517822265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34104643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379791259765625 × 2 - 1) × π
    0.24041748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.755293790413605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34104643} λ = -2.34104643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755293790413605))-π/2
    2×atan(2.12823668705379)-π/2
    2×1.13153983450852-π/2
    2.26307966901703-1.57079632675     		φ = 0.69228334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34104643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69228334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.664914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8350 KachelY 24890 -2.34104643 0.69228334 -134.132080 39.664914
    Oben rechts KachelX + 1 8351 KachelY 24890 -2.34095056 0.69228334 -134.126587 39.664914
    Unten links KachelX 8350 KachelY + 1 24891 -2.34104643 0.69220954 -134.132080 39.660685
    Unten rechts KachelX + 1 8351 KachelY + 1 24891 -2.34095056 0.69220954 -134.126587 39.660685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69228334-0.69220954) × R
    7.38000000000127e-05 × 6371000     		dl = 470.179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69228334-0.69220954) × R
    7.38000000000127e-05 × 6371000     		dr = 470.179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34104643--2.34095056) × cos(0.69228334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769790574951133 × 6371000     		do = 470.17866864141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34104643--2.34095056) × cos(0.69220954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769837679139302 × 6371000     		du = 470.20743930346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69228334)-sin(0.69220954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769790574951133-0.769837679139302)×R²
    abs(-2.34095056--2.34104643)×4.71041881695555e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71041881695555e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71041881695555e-05×40589641000000     		ar = 221075.276178761m²