Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83497 / 20669
↖ ↑ ↗
← N 76.722116°
E 49.331360°		 ← 70.15 m → N 76.722116°
E 49.334106°		 →
↑
70.14 m
↓
↑
70.14 m
↓
N 76.721485°
E 49.331360°		 ← 70.15 m →
4 921 m²		 N 76.721485°
E 49.334106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637035369873047 y=0.157695770263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637035369873047 × 217)
    floor (0.637035369873047 × 131072)
    floor (83497.5)     		tx = 83497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157695770263672 × 217)
    floor (0.157695770263672 × 131072)
    floor (20669.5)     		ty = 20669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83497 / 20669 ti = "17/83497/20669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83497/20669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83497 ÷ 217
    83497 ÷ 131072     		x = 0.637031555175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20669 ÷ 217
    20669 ÷ 131072     		y = 0.157691955566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637031555175781 × 2 - 1) × π
    0.274063110351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.86099465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157691955566406 × 2 - 1) × π
    0.684616088867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.15078487525306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86099465} λ = 0.86099465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15078487525306))-π/2
    2×atan(8.59159908503837)-π/2
    2×1.45492492898205-π/2
    2.9098498579641-1.57079632675     		φ = 1.33905353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86099465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.331360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33905353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.722116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83497 KachelY 20669 0.86099465 1.33905353 49.331360 76.722116
    Oben rechts KachelX + 1 83498 KachelY 20669 0.86104259 1.33905353 49.334106 76.722116
    Unten links KachelX 83497 KachelY + 1 20670 0.86099465 1.33904252 49.331360 76.721485
    Unten rechts KachelX + 1 83498 KachelY + 1 20670 0.86104259 1.33904252 49.334106 76.721485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33905353-1.33904252) × R
    1.10099999999225e-05 × 6371000     		dl = 70.1447099995061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33905353-1.33904252) × R
    1.10099999999225e-05 × 6371000     		dr = 70.1447099995061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86099465-0.86104259) × cos(1.33905353) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.229674079126076 × 6371000     		do = 70.1483755760169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86099465-0.86104259) × cos(1.33904252) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.22968479478841 × 6371000     		du = 70.1516484151147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33905353)-sin(1.33904252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229674079126076-0.22968479478841)×R²
    abs(0.86104259-0.86099465)×1.07156623334603e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.07156623334603e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.07156623334603e-05×40589641000000     		ar = 4920.65224796207m²