Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83496 / 20666
↖ ↑ ↗
← N 76.724008°
E 49.328613°		 ← 70.12 m → N 76.724008°
E 49.331360°		 →
↑
70.14 m
↓
↑
70.14 m
↓
N 76.723377°
E 49.328613°		 ← 70.13 m →
4 919 m²		 N 76.723377°
E 49.331360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637027740478516 y=0.157672882080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637027740478516 × 217)
    floor (0.637027740478516 × 131072)
    floor (83496.5)     		tx = 83496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157672882080078 × 217)
    floor (0.157672882080078 × 131072)
    floor (20666.5)     		ty = 20666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83496 / 20666 ti = "17/83496/20666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83496/20666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83496 ÷ 217
    83496 ÷ 131072     		x = 0.63702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20666 ÷ 217
    20666 ÷ 131072     		y = 0.157669067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63702392578125 × 2 - 1) × π
    0.2740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86094672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157669067382812 × 2 - 1) × π
    0.684661865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15092868595192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86094672} λ = 0.86094672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15092868595192))-π/2
    2×atan(8.59283473775502)-π/2
    2×1.45494144262118-π/2
    2.90988288524235-1.57079632675     		φ = 1.33908656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86094672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.328613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33908656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.724008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83496 KachelY 20666 0.86094672 1.33908656 49.328613 76.724008
    Oben rechts KachelX + 1 83497 KachelY 20666 0.86099465 1.33908656 49.331360 76.724008
    Unten links KachelX 83496 KachelY + 1 20667 0.86094672 1.33907555 49.328613 76.723377
    Unten rechts KachelX + 1 83497 KachelY + 1 20667 0.86099465 1.33907555 49.331360 76.723377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33908656-1.33907555) × R
    1.10099999999225e-05 × 6371000     		dl = 70.1447099995061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33908656-1.33907555) × R
    1.10099999999225e-05 × 6371000     		dr = 70.1447099995061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86094672-0.86099465) × cos(1.33908656) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.229641931972034 × 6371000     		do = 70.1239265199828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86094672-0.86099465) × cos(1.33907555) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.229652647717887 × 6371000     		du = 70.1271987018894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33908656)-sin(1.33907555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229641931972034-0.229652647717887)×R²
    abs(0.86099465-0.86094672)×1.07157458529294e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.07157458529294e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.07157458529294e-05×40589641000000     		ar = 4918.93725285051m²