Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83495 / 20659
↖ ↑ ↗
← N 76.728422°
E 49.325867°		 ← 70.12 m → N 76.728422°
E 49.328613°		 →
↑
70.08 m
↓
↑
70.08 m
↓
N 76.727792°
E 49.325867°		 ← 70.12 m →
4 914 m²		 N 76.727792°
E 49.328613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637020111083984 y=0.157619476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637020111083984 × 217)
    floor (0.637020111083984 × 131072)
    floor (83495.5)     		tx = 83495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157619476318359 × 217)
    floor (0.157619476318359 × 131072)
    floor (20659.5)     		ty = 20659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83495 / 20659 ti = "17/83495/20659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83495/20659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83495 ÷ 217
    83495 ÷ 131072     		x = 0.637016296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20659 ÷ 217
    20659 ÷ 131072     		y = 0.157615661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637016296386719 × 2 - 1) × π
    0.274032592773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.86089878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157615661621094 × 2 - 1) × π
    0.684768676757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.15126424424926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86089878} λ = 0.86089878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15126424424926))-π/2
    2×atan(8.59571861857696)-π/2
    2×1.4549799654583-π/2
    2.9099599309166-1.57079632675     		φ = 1.33916360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86089878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.325867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33916360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.728422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83495 KachelY 20659 0.86089878 1.33916360 49.325867 76.728422
    Oben rechts KachelX + 1 83496 KachelY 20659 0.86094672 1.33916360 49.328613 76.728422
    Unten links KachelX 83495 KachelY + 1 20660 0.86089878 1.33915260 49.325867 76.727792
    Unten rechts KachelX + 1 83496 KachelY + 1 20660 0.86094672 1.33915260 49.328613 76.727792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33916360-1.33915260) × R
    1.09999999999832e-05 × 6371000     		dl = 70.0809999998933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33916360-1.33915260) × R
    1.09999999999832e-05 × 6371000     		dr = 70.0809999998933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86089878-0.86094672) × cos(1.33916360) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.22956695017048 × 6371000     		do = 70.1156556354784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86089878-0.86094672) × cos(1.33915260) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.229577656378187 × 6371000     		du = 70.1189255868899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33916360)-sin(1.33915260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22956695017048-0.229577656378187)×R²
    abs(0.86094672-0.86089878)×1.07062077069342e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.07062077069342e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.07062077069342e-05×40589641000000     		ar = 4913.88984341329m²