Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8348 / 8412
↖ ↑ ↗
← N 78.941924°
W134.143067°		 ← 117.16 m → N 78.941924°
W134.137573°		 →
↑
117.16 m
↓
↑
117.16 m
↓
N 78.940870°
W134.143067°		 ← 117.17 m →
13 728 m²		 N 78.940870°
W134.137573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127388000488281 y=0.128364562988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127388000488281 × 216)
    floor (0.127388000488281 × 65536)
    floor (8348.5)     		tx = 8348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128364562988281 × 216)
    floor (0.128364562988281 × 65536)
    floor (8412.5)     		ty = 8412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8348 / 8412 ti = "16/8348/8412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8348/8412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8348 ÷ 216
    8348 ÷ 65536     		x = 0.12738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8412 ÷ 216
    8412 ÷ 65536     		y = 0.12835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.7452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34123818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12835693359375 × 2 - 1) × π
    0.7432861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33510225429218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34123818} λ = -2.34123818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33510225429218))-π/2
    2×atan(10.3305162149871)-π/2
    2×1.47429640633915-π/2
    2.9485928126783-1.57079632675     		φ = 1.37779649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34123818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.143067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37779649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.941924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8348 KachelY 8412 -2.34123818 1.37779649 -134.143067 78.941924
    Oben rechts KachelX + 1 8349 KachelY 8412 -2.34114230 1.37779649 -134.137573 78.941924
    Unten links KachelX 8348 KachelY + 1 8413 -2.34123818 1.37777810 -134.143067 78.940870
    Unten rechts KachelX + 1 8349 KachelY + 1 8413 -2.34114230 1.37777810 -134.137573 78.940870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37779649-1.37777810) × R
    1.83899999999237e-05 × 6371000     		dl = 117.162689999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37779649-1.37777810) × R
    1.83899999999237e-05 × 6371000     		dr = 117.162689999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34123818--2.34114230) × cos(1.37779649) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.191803893223529 × 6371000     		do = 117.163692045278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34123818--2.34114230) × cos(1.37777810) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.191821941748959 × 6371000     		du = 117.174717013749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37779649)-sin(1.37777810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191803893223529-0.191821941748959)×R²
    abs(-2.34114230--2.34123818)×1.80485254298035e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.80485254298035e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.80485254298035e-05×40589641000000     		ar = 13727.8591882395m²