Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8348 / 8411
↖ ↑ ↗
← N 78.942977°
W134.143067°		 ← 117.15 m → N 78.942977°
W134.137573°		 →
↑
117.10 m
↓
↑
117.10 m
↓
N 78.941924°
W134.143067°		 ← 117.16 m →
13 719 m²		 N 78.941924°
W134.137573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127388000488281 y=0.128349304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127388000488281 × 216)
    floor (0.127388000488281 × 65536)
    floor (8348.5)     		tx = 8348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128349304199219 × 216)
    floor (0.128349304199219 × 65536)
    floor (8411.5)     		ty = 8411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8348 / 8411 ti = "16/8348/8411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8348/8411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8348 ÷ 216
    8348 ÷ 65536     		x = 0.12738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8411 ÷ 216
    8411 ÷ 65536     		y = 0.128341674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.7452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34123818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128341674804688 × 2 - 1) × π
    0.743316650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33519812809142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34123818} λ = -2.34123818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33519812809142))-π/2
    2×atan(10.3315066883042)-π/2
    2×1.47430560039076-π/2
    2.94861120078153-1.57079632675     		φ = 1.37781487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34123818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.143067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37781487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.942977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8348 KachelY 8411 -2.34123818 1.37781487 -134.143067 78.942977
    Oben rechts KachelX + 1 8349 KachelY 8411 -2.34114230 1.37781487 -134.137573 78.942977
    Unten links KachelX 8348 KachelY + 1 8412 -2.34123818 1.37779649 -134.143067 78.941924
    Unten rechts KachelX + 1 8349 KachelY + 1 8412 -2.34114230 1.37779649 -134.137573 78.941924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37781487-1.37779649) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dl = 117.098979999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37781487-1.37779649) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dr = 117.098979999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34123818--2.34114230) × cos(1.37781487) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.191785854447601 × 6371000     		do = 117.152673032305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34123818--2.34114230) × cos(1.37779649) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.191803893223529 × 6371000     		du = 117.163692045278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37781487)-sin(1.37779649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191785854447601-0.191803893223529)×R²
    abs(-2.34114230--2.34123818)×1.80387759284306e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.80387759284306e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.80387759284306e-05×40589641000000     		ar = 13719.1036743249m²