Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83474 / 20014
↖ ↑ ↗
← N 77.129049°
E 49.268189°		 ← 68.02 m → N 77.129049°
E 49.270935°		 →
↑
68.04 m
↓
↑
68.04 m
↓
N 77.128437°
E 49.268189°		 ← 68.02 m →
4 628 m²		 N 77.128437°
E 49.270935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636859893798828 y=0.152698516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636859893798828 × 217)
    floor (0.636859893798828 × 131072)
    floor (83474.5)     		tx = 83474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152698516845703 × 217)
    floor (0.152698516845703 × 131072)
    floor (20014.5)     		ty = 20014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83474 / 20014 ti = "17/83474/20014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83474/20014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83474 ÷ 217
    83474 ÷ 131072     		x = 0.636856079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20014 ÷ 217
    20014 ÷ 131072     		y = 0.152694702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636856079101562 × 2 - 1) × π
    0.273712158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85989211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152694702148438 × 2 - 1) × π
    0.694610595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1821835445042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85989211} λ = 0.85989211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1821835445042))-π/2
    2×atan(8.8656436664966)-π/2
    2×1.45847609174705-π/2
    2.9169521834941-1.57079632675     		φ = 1.34615586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85989211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.268189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34615586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.129049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83474 KachelY 20014 0.85989211 1.34615586 49.268189 77.129049
    Oben rechts KachelX + 1 83475 KachelY 20014 0.85994004 1.34615586 49.270935 77.129049
    Unten links KachelX 83474 KachelY + 1 20015 0.85989211 1.34614518 49.268189 77.128437
    Unten rechts KachelX + 1 83475 KachelY + 1 20015 0.85994004 1.34614518 49.270935 77.128437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34615586-1.34614518) × R
    1.06800000001517e-05 × 6371000     		dl = 68.0422800009663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34615586-1.34614518) × R
    1.06800000001517e-05 × 6371000     		dr = 68.0422800009663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85989211-0.85994004) × cos(1.34615586) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222755876869841 × 6371000     		do = 68.0211867554464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85989211-0.85994004) × cos(1.34614518) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222766288514215 × 6371000     		du = 68.024366076308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34615586)-sin(1.34614518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222755876869841-0.222766288514215)×R²
    abs(0.85994004-0.85989211)×1.0411644373598e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0411644373598e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0411644373598e-05×40589641000000     		ar = 4628.42479936686m²