Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83470 / 20022
↖ ↑ ↗
← N 77.124153°
E 49.257202°		 ← 68.05 m → N 77.124153°
E 49.259948°		 →
↑
68.04 m
↓
↑
68.04 m
↓
N 77.123542°
E 49.257202°		 ← 68.05 m →
4 630 m²		 N 77.123542°
E 49.259948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636829376220703 y=0.152759552001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636829376220703 × 217)
    floor (0.636829376220703 × 131072)
    floor (83470.5)     		tx = 83470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152759552001953 × 217)
    floor (0.152759552001953 × 131072)
    floor (20022.5)     		ty = 20022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83470 / 20022 ti = "17/83470/20022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83470/20022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83470 ÷ 217
    83470 ÷ 131072     		x = 0.636825561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20022 ÷ 217
    20022 ÷ 131072     		y = 0.152755737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636825561523438 × 2 - 1) × π
    0.273651123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85970036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152755737304688 × 2 - 1) × π
    0.694488525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18180004930724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85970036} λ = 0.85970036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18180004930724))-π/2
    2×atan(8.86224438657796)-π/2
    2×1.45843337085674-π/2
    2.91686674171347-1.57079632675     		φ = 1.34607041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85970036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.257202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34607041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.124153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83470 KachelY 20022 0.85970036 1.34607041 49.257202 77.124153
    Oben rechts KachelX + 1 83471 KachelY 20022 0.85974829 1.34607041 49.259948 77.124153
    Unten links KachelX 83470 KachelY + 1 20023 0.85970036 1.34605973 49.257202 77.123542
    Unten rechts KachelX + 1 83471 KachelY + 1 20023 0.85974829 1.34605973 49.259948 77.123542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34607041-1.34605973) × R
    1.06800000001517e-05 × 6371000     		dl = 68.0422800009663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34607041-1.34605973) × R
    1.06800000001517e-05 × 6371000     		dr = 68.0422800009663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85970036-0.85974829) × cos(1.34607041) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.222839179061855 × 6371000     		do = 68.0466240817457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85970036-0.85974829) × cos(1.34605973) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.222849590502898 × 6371000     		du = 68.0498033405176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34607041)-sin(1.34605973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222839179061855-0.222849590502898)×R²
    abs(0.85974829-0.85970036)×1.0411441042496e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.0411441042496e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.0411441042496e-05×40589641000000     		ar = 4630.15561096351m²