Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8347 / 5643
↖ ↑ ↗
← N 75.466862°
W 88.297119°		 ← 306.56 m → N 75.466862°
W 88.286133°		 →
↑
306.57 m
↓
↑
306.57 m
↓
N 75.464105°
W 88.297119°		 ← 306.61 m →
93 991 m²		 N 75.464105°
W 88.286133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.254745483398438 y=0.172225952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.254745483398438 × 215)
    floor (0.254745483398438 × 32768)
    floor (8347.5)     		tx = 8347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172225952148438 × 215)
    floor (0.172225952148438 × 32768)
    floor (5643.5)     		ty = 5643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8347 / 5643 ti = "15/8347/5643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8347/5643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8347 ÷ 215
    8347 ÷ 32768     		x = 0.254730224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5643 ÷ 215
    5643 ÷ 32768     		y = 0.172210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.254730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.49053955078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.54107545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172210693359375 × 2 - 1) × π
    0.65557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05956095527609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.54107545} λ = -1.54107545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05956095527609))-π/2
    2×atan(7.84252583475427)-π/2
    2×1.44397077476074-π/2
    2.88794154952149-1.57079632675     		φ = 1.31714522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.54107545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.297119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31714522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.466862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8347 KachelY 5643 -1.54107545 1.31714522 -88.297119 75.466862
    Oben rechts KachelX + 1 8348 KachelY 5643 -1.54088370 1.31714522 -88.286133 75.466862
    Unten links KachelX 8347 KachelY + 1 5644 -1.54107545 1.31709710 -88.297119 75.464105
    Unten rechts KachelX + 1 8348 KachelY + 1 5644 -1.54088370 1.31709710 -88.286133 75.464105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31714522-1.31709710) × R
    4.81199999999848e-05 × 6371000     		dl = 306.572519999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31714522-1.31709710) × R
    4.81199999999848e-05 × 6371000     		dr = 306.572519999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.54107545--1.54088370) × cos(1.31714522) × R
    0.000191749999999935 × 0.250939905103973 × 6371000     		do = 306.558037466185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.54107545--1.54088370) × cos(1.31709710) × R
    0.000191749999999935 × 0.250986485101779 × 6371000     		du = 306.614941419769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31714522)-sin(1.31709710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250939905103973-0.250986485101779)×R²
    abs(-1.54088370--1.54107545)×4.65799978056625e-05×R²
    0.000191749999999935×4.65799978056625e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.65799978056625e-05×40589641000000     		ar = 93990.9926850012m²