Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8347 / 25013
↖ ↑ ↗
← N 39.142842°
W134.148559°		 ← 473.71 m → N 39.142842°
W134.143067°		 →
↑
473.75 m
↓
↑
473.75 m
↓
N 39.138582°
W134.148559°		 ← 473.74 m →
224 426 m²		 N 39.138582°
W134.143067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127372741699219 y=0.381675720214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127372741699219 × 216)
    floor (0.127372741699219 × 65536)
    floor (8347.5)     		tx = 8347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381675720214844 × 216)
    floor (0.381675720214844 × 65536)
    floor (25013.5)     		ty = 25013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8347 / 25013 ti = "16/8347/25013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8347/25013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8347 ÷ 216
    8347 ÷ 65536     		x = 0.127365112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25013 ÷ 216
    25013 ÷ 65536     		y = 0.381668090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127365112304688 × 2 - 1) × π
    -0.745269775390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34133405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381668090820312 × 2 - 1) × π
    0.236663818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.743501313107071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34133405} λ = -2.34133405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743501313107071))-π/2
    2×atan(2.10328690322953)-π/2
    2×1.12698390330505-π/2
    2.2539678066101-1.57079632675     		φ = 0.68317148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34133405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.148559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68317148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.142842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8347 KachelY 25013 -2.34133405 0.68317148 -134.148559 39.142842
    Oben rechts KachelX + 1 8348 KachelY 25013 -2.34123818 0.68317148 -134.143067 39.142842
    Unten links KachelX 8347 KachelY + 1 25014 -2.34133405 0.68309712 -134.148559 39.138582
    Unten rechts KachelX + 1 8348 KachelY + 1 25014 -2.34123818 0.68309712 -134.143067 39.138582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68317148-0.68309712) × R
    7.43600000000511e-05 × 6371000     		dl = 473.747560000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68317148-0.68309712) × R
    7.43600000000511e-05 × 6371000     		dr = 473.747560000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34133405--2.34123818) × cos(0.68317148) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775574607073278 × 6371000     		do = 473.711484722903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34133405--2.34123818) × cos(0.68309712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775621545118759 × 6371000     		du = 473.740153907031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68317148)-sin(0.68309712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775574607073278-0.775621545118759)×R²
    abs(-2.34123818--2.34133405)×4.69380454812818e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69380454812818e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69380454812818e-05×40589641000000     		ar = 224426.45111316m²