Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83459 / 19980
↖ ↑ ↗
← N 77.149835°
E 49.226990°		 ← 67.93 m → N 77.149835°
E 49.229736°		 →
↑
67.91 m
↓
↑
67.91 m
↓
N 77.149224°
E 49.226990°		 ← 67.93 m →
4 613 m²		 N 77.149224°
E 49.229736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636745452880859 y=0.152439117431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636745452880859 × 217)
    floor (0.636745452880859 × 131072)
    floor (83459.5)     		tx = 83459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152439117431641 × 217)
    floor (0.152439117431641 × 131072)
    floor (19980.5)     		ty = 19980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83459 / 19980 ti = "17/83459/19980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83459/19980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83459 ÷ 217
    83459 ÷ 131072     		x = 0.636741638183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19980 ÷ 217
    19980 ÷ 131072     		y = 0.152435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636741638183594 × 2 - 1) × π
    0.273483276367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.85917305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152435302734375 × 2 - 1) × π
    0.69512939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18381339909128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85917305} λ = 0.85917305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18381339909128))-π/2
    2×atan(8.88010515835698)-π/2
    2×1.45865747744922-π/2
    2.91731495489843-1.57079632675     		φ = 1.34651863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85917305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.226990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34651863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.149835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83459 KachelY 19980 0.85917305 1.34651863 49.226990 77.149835
    Oben rechts KachelX + 1 83460 KachelY 19980 0.85922099 1.34651863 49.229736 77.149835
    Unten links KachelX 83459 KachelY + 1 19981 0.85917305 1.34650797 49.226990 77.149224
    Unten rechts KachelX + 1 83460 KachelY + 1 19981 0.85922099 1.34650797 49.229736 77.149224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34651863-1.34650797) × R
    1.06600000000512e-05 × 6371000     		dl = 67.9148600003261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34651863-1.34650797) × R
    1.06600000000512e-05 × 6371000     		dr = 67.9148600003261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85917305-0.85922099) × cos(1.34651863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22240220708538 × 6371000     		do = 67.9273586766409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85917305-0.85922099) × cos(1.34650797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222412600093078 × 6371000     		du = 67.9305329687078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34651863)-sin(1.34650797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22240220708538-0.222412600093078)×R²
    abs(0.85922099-0.85917305)×1.03930076976733e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03930076976733e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03930076976733e-05×40589641000000     		ar = 4613.38484538996m²