Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83453 / 19991
↖ ↑ ↗
← N 77.143113°
E 49.210510°		 ← 67.96 m → N 77.143113°
E 49.213257°		 →
↑
67.91 m
↓
↑
67.91 m
↓
N 77.142502°
E 49.210510°		 ← 67.97 m →
4 616 m²		 N 77.142502°
E 49.213257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636699676513672 y=0.152523040771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636699676513672 × 217)
    floor (0.636699676513672 × 131072)
    floor (83453.5)     		tx = 83453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152523040771484 × 217)
    floor (0.152523040771484 × 131072)
    floor (19991.5)     		ty = 19991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83453 / 19991 ti = "17/83453/19991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83453/19991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83453 ÷ 217
    83453 ÷ 131072     		x = 0.636695861816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19991 ÷ 217
    19991 ÷ 131072     		y = 0.152519226074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636695861816406 × 2 - 1) × π
    0.273391723632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.85888543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152519226074219 × 2 - 1) × π
    0.694961547851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.18328609319546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85888543} λ = 0.85888543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18328609319546))-π/2
    2×atan(8.87542386089781)-π/2
    2×1.45859882537613-π/2
    2.91719765075227-1.57079632675     		φ = 1.34640132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85888543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.210510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34640132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.143113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83453 KachelY 19991 0.85888543 1.34640132 49.210510 77.143113
    Oben rechts KachelX + 1 83454 KachelY 19991 0.85893337 1.34640132 49.213257 77.143113
    Unten links KachelX 83453 KachelY + 1 19992 0.85888543 1.34639066 49.210510 77.142502
    Unten rechts KachelX + 1 83454 KachelY + 1 19992 0.85893337 1.34639066 49.213257 77.142502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34640132-1.34639066) × R
    1.06600000000512e-05 × 6371000     		dl = 67.9148600003261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34640132-1.34639066) × R
    1.06600000000512e-05 × 6371000     		dr = 67.9148600003261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85888543-0.85893337) × cos(1.34640132) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222516577526235 × 6371000     		do = 67.9622903533306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85888543-0.85893337) × cos(1.34639066) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222526970255735 × 6371000     		du = 67.9654645604288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34640132)-sin(1.34639066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222516577526235-0.222526970255735)×R²
    abs(0.85893337-0.85888543)×1.03927295002082e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.03927295002082e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.03927295002082e-05×40589641000000     		ar = 4615.7572226545m²