Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83452 / 20028
↖ ↑ ↗
← N 77.120481°
E 49.207763°		 ← 68.08 m → N 77.120481°
E 49.210510°		 →
↑
68.04 m
↓
↑
68.04 m
↓
N 77.119869°
E 49.207763°		 ← 68.08 m →
4 632 m²		 N 77.119869°
E 49.210510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636692047119141 y=0.152805328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636692047119141 × 217)
    floor (0.636692047119141 × 131072)
    floor (83452.5)     		tx = 83452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152805328369141 × 217)
    floor (0.152805328369141 × 131072)
    floor (20028.5)     		ty = 20028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83452 / 20028 ti = "17/83452/20028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83452/20028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83452 ÷ 217
    83452 ÷ 131072     		x = 0.636688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20028 ÷ 217
    20028 ÷ 131072     		y = 0.152801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636688232421875 × 2 - 1) × π
    0.27337646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85883749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152801513671875 × 2 - 1) × π
    0.69439697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18151242790952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85883749} λ = 0.85883749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18151242790952))-π/2
    2×atan(8.85969578199473)-π/2
    2×1.45840131970619-π/2
    2.91680263941237-1.57079632675     		φ = 1.34600631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85883749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.207763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34600631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.120481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83452 KachelY 20028 0.85883749 1.34600631 49.207763 77.120481
    Oben rechts KachelX + 1 83453 KachelY 20028 0.85888543 1.34600631 49.210510 77.120481
    Unten links KachelX 83452 KachelY + 1 20029 0.85883749 1.34599563 49.207763 77.119869
    Unten rechts KachelX + 1 83453 KachelY + 1 20029 0.85888543 1.34599563 49.210510 77.119869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34600631-1.34599563) × R
    1.06799999999296e-05 × 6371000     		dl = 68.0422799995517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34600631-1.34599563) × R
    1.06799999999296e-05 × 6371000     		dr = 68.0422799995517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85883749-0.85888543) × cos(1.34600631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222901666823623 × 6371000     		do = 68.0799065367939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85883749-0.85888543) × cos(1.34599563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222912078112087 × 6371000     		du = 68.0830864122775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34600631)-sin(1.34599563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222901666823623-0.222912078112087)×R²
    abs(0.85888543-0.85883749)×1.04112884642682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04112884642682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04112884642682e-05×40589641000000     		ar = 4632.42024587929m²