Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83448 / 20216
↖ ↑ ↗
← N 77.004877°
E 49.196778°		 ← 68.67 m → N 77.004877°
E 49.199524°		 →
↑
68.68 m
↓
↑
68.68 m
↓
N 77.004259°
E 49.196778°		 ← 68.67 m →
4 716 m²		 N 77.004259°
E 49.199524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636661529541016 y=0.154239654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636661529541016 × 217)
    floor (0.636661529541016 × 131072)
    floor (83448.5)     		tx = 83448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154239654541016 × 217)
    floor (0.154239654541016 × 131072)
    floor (20216.5)     		ty = 20216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83448 / 20216 ti = "17/83448/20216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83448/20216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83448 ÷ 217
    83448 ÷ 131072     		x = 0.63665771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20216 ÷ 217
    20216 ÷ 131072     		y = 0.15423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63665771484375 × 2 - 1) × π
    0.2733154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85864575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15423583984375 × 2 - 1) × π
    0.6915283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17250029078094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85864575} λ = 0.85864575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17250029078094))-π/2
    2×atan(8.78020969641991)-π/2
    2×1.45739248518514-π/2
    2.91478497037027-1.57079632675     		φ = 1.34398864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85864575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.196778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34398864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.004877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83448 KachelY 20216 0.85864575 1.34398864 49.196778 77.004877
    Oben rechts KachelX + 1 83449 KachelY 20216 0.85869368 1.34398864 49.199524 77.004877
    Unten links KachelX 83448 KachelY + 1 20217 0.85864575 1.34397786 49.196778 77.004259
    Unten rechts KachelX + 1 83449 KachelY + 1 20217 0.85869368 1.34397786 49.199524 77.004259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34398864-1.34397786) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dl = 68.6793799999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34398864-1.34397786) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dr = 68.6793799999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85864575-0.85869368) × cos(1.34398864) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224868119081397 × 6371000     		do = 68.6661853250191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85864575-0.85869368) × cos(1.34397786) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224878622983995 × 6371000     		du = 68.6693928180394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34398864)-sin(1.34397786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224868119081397-0.224878622983995)×R²
    abs(0.85869368-0.85864575)×1.05039025982134e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05039025982134e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05039025982134e-05×40589641000000     		ar = 4716.06117928465m²