Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83448 / 20039
↖ ↑ ↗
← N 77.113745°
E 49.196778°		 ← 68.10 m → N 77.113745°
E 49.199524°		 →
↑
68.17 m
↓
↑
68.17 m
↓
N 77.113132°
E 49.196778°		 ← 68.10 m →
4 643 m²		 N 77.113132°
E 49.199524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636661529541016 y=0.152889251708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636661529541016 × 217)
    floor (0.636661529541016 × 131072)
    floor (83448.5)     		tx = 83448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152889251708984 × 217)
    floor (0.152889251708984 × 131072)
    floor (20039.5)     		ty = 20039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83448 / 20039 ti = "17/83448/20039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83448/20039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83448 ÷ 217
    83448 ÷ 131072     		x = 0.63665771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20039 ÷ 217
    20039 ÷ 131072     		y = 0.152885437011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63665771484375 × 2 - 1) × π
    0.2733154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85864575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152885437011719 × 2 - 1) × π
    0.694229125976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.18098512201369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85864575} λ = 0.85864575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18098512201369))-π/2
    2×atan(8.85502524368312)-π/2
    2×1.45834253591814-π/2
    2.91668507183629-1.57079632675     		φ = 1.34588875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85864575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.196778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34588875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.113745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83448 KachelY 20039 0.85864575 1.34588875 49.196778 77.113745
    Oben rechts KachelX + 1 83449 KachelY 20039 0.85869368 1.34588875 49.199524 77.113745
    Unten links KachelX 83448 KachelY + 1 20040 0.85864575 1.34587805 49.196778 77.113132
    Unten rechts KachelX + 1 83449 KachelY + 1 20040 0.85869368 1.34587805 49.199524 77.113132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34588875-1.34587805) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dl = 68.169700000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34588875-1.34587805) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dr = 68.169700000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85864575-0.85869368) × cos(1.34588875) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22301626758329 × 6371000     		do = 68.1007001922982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85864575-0.85869368) × cos(1.34587805) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22302669808806 × 6371000     		du = 68.1038852724089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34588875)-sin(1.34587805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22301626758329-0.22302669808806)×R²
    abs(0.85869368-0.85864575)×1.04305047705644e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04305047705644e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04305047705644e-05×40589641000000     		ar = 4642.51286494598m²