Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83447 / 19969
↖ ↑ ↗
← N 77.156552°
E 49.194031°		 ← 67.89 m → N 77.156552°
E 49.196778°		 →
↑
67.85 m
↓
↑
67.85 m
↓
N 77.155942°
E 49.194031°		 ← 67.90 m →
4 607 m²		 N 77.155942°
E 49.196778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636653900146484 y=0.152355194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636653900146484 × 217)
    floor (0.636653900146484 × 131072)
    floor (83447.5)     		tx = 83447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152355194091797 × 217)
    floor (0.152355194091797 × 131072)
    floor (19969.5)     		ty = 19969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83447 / 19969 ti = "17/83447/19969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83447/19969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83447 ÷ 217
    83447 ÷ 131072     		x = 0.636650085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19969 ÷ 217
    19969 ÷ 131072     		y = 0.152351379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636650085449219 × 2 - 1) × π
    0.273300170898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.85859781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152351379394531 × 2 - 1) × π
    0.695297241210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.1843407049871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85859781} λ = 0.85859781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1843407049871))-π/2
    2×atan(8.88478892494282)-π/2
    2×1.45871609937705-π/2
    2.91743219875409-1.57079632675     		φ = 1.34663587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85859781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.194031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34663587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.156552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83447 KachelY 19969 0.85859781 1.34663587 49.194031 77.156552
    Oben rechts KachelX + 1 83448 KachelY 19969 0.85864575 1.34663587 49.196778 77.156552
    Unten links KachelX 83447 KachelY + 1 19970 0.85859781 1.34662522 49.194031 77.155942
    Unten rechts KachelX + 1 83448 KachelY + 1 19970 0.85864575 1.34662522 49.196778 77.155942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34663587-1.34662522) × R
    1.0650000000112e-05 × 6371000     		dl = 67.8511500007133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34663587-1.34662522) × R
    1.0650000000112e-05 × 6371000     		dr = 67.8511500007133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85859781-0.85864575) × cos(1.34663587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222287901832582 × 6371000     		do = 67.8924469102193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85859781-0.85864575) × cos(1.34662522) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222298285368382 × 6371000     		du = 67.8956183093246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34663587)-sin(1.34662522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222287901832582-0.222298285368382)×R²
    abs(0.85864575-0.85859781)×1.0383535799241e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0383535799241e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0383535799241e-05×40589641000000     		ar = 4606.68819077937m²