Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83443 / 20220
↖ ↑ ↗
← N 77.002406°
E 49.183044°		 ← 68.69 m → N 77.002406°
E 49.185791°		 →
↑
68.68 m
↓
↑
68.68 m
↓
N 77.001789°
E 49.183044°		 ← 68.70 m →
4 718 m²		 N 77.001789°
E 49.185791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636623382568359 y=0.154270172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636623382568359 × 217)
    floor (0.636623382568359 × 131072)
    floor (83443.5)     		tx = 83443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154270172119141 × 217)
    floor (0.154270172119141 × 131072)
    floor (20220.5)     		ty = 20220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83443 / 20220 ti = "17/83443/20220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83443/20220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83443 ÷ 217
    83443 ÷ 131072     		x = 0.636619567871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20220 ÷ 217
    20220 ÷ 131072     		y = 0.154266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636619567871094 × 2 - 1) × π
    0.273239135742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.85840606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154266357421875 × 2 - 1) × π
    0.69146728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17230854318246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85840606} λ = 0.85840606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17230854318246))-π/2
    2×atan(8.77852627369776)-π/2
    2×1.45737092421044-π/2
    2.91474184842089-1.57079632675     		φ = 1.34394552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85840606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.183044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34394552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.002406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83443 KachelY 20220 0.85840606 1.34394552 49.183044 77.002406
    Oben rechts KachelX + 1 83444 KachelY 20220 0.85845400 1.34394552 49.185791 77.002406
    Unten links KachelX 83443 KachelY + 1 20221 0.85840606 1.34393474 49.183044 77.001789
    Unten rechts KachelX + 1 83444 KachelY + 1 20221 0.85845400 1.34393474 49.185791 77.001789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34394552-1.34393474) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dl = 68.6793799999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34394552-1.34393474) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dr = 68.6793799999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85840606-0.85845400) × cos(1.34394552) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.224910134534988 × 6371000     		do = 68.6933442739624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85840606-0.85845400) × cos(1.34393474) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.224920638333048 × 6371000     		du = 68.6965524042576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34394552)-sin(1.34393474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224910134534988-0.224920638333048)×R²
    abs(0.85845400-0.85840606)×1.05037980597522e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.05037980597522e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05037980597522e-05×40589641000000     		ar = 4717.92646116667m²