Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83443 / 19982
↖ ↑ ↗
← N 77.148612°
E 49.183044°		 ← 67.93 m → N 77.148612°
E 49.185791°		 →
↑
67.91 m
↓
↑
67.91 m
↓
N 77.148002°
E 49.183044°		 ← 67.94 m →
4 614 m²		 N 77.148002°
E 49.185791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636623382568359 y=0.152454376220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636623382568359 × 217)
    floor (0.636623382568359 × 131072)
    floor (83443.5)     		tx = 83443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152454376220703 × 217)
    floor (0.152454376220703 × 131072)
    floor (19982.5)     		ty = 19982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83443 / 19982 ti = "17/83443/19982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83443/19982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83443 ÷ 217
    83443 ÷ 131072     		x = 0.636619567871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19982 ÷ 217
    19982 ÷ 131072     		y = 0.152450561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636619567871094 × 2 - 1) × π
    0.273239135742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.85840606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152450561523438 × 2 - 1) × π
    0.695098876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18371752529204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85840606} λ = 0.85840606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18371752529204))-π/2
    2×atan(8.8792538297485)-π/2
    2×1.45864681567857-π/2
    2.91729363135714-1.57079632675     		φ = 1.34649730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85840606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.183044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34649730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.148612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83443 KachelY 19982 0.85840606 1.34649730 49.183044 77.148612
    Oben rechts KachelX + 1 83444 KachelY 19982 0.85845400 1.34649730 49.185791 77.148612
    Unten links KachelX 83443 KachelY + 1 19983 0.85840606 1.34648664 49.183044 77.148002
    Unten rechts KachelX + 1 83444 KachelY + 1 19983 0.85845400 1.34648664 49.185791 77.148002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34649730-1.34648664) × R
    1.06600000000512e-05 × 6371000     		dl = 67.9148600003261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34649730-1.34648664) × R
    1.06600000000512e-05 × 6371000     		dr = 67.9148600003261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85840606-0.85845400) × cos(1.34649730) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222423002825004 × 6371000     		do = 67.9337102309617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85840606-0.85845400) × cos(1.34648664) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222433395782129 × 6371000     		du = 67.9368845075823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34649730)-sin(1.34648664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222423002825004-0.222433395782129)×R²
    abs(0.85845400-0.85840606)×1.0392957124794e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0392957124794e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0392957124794e-05×40589641000000     		ar = 4613.81621005128m²