Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83440 / 19984
↖ ↑ ↗
← N 77.147391°
E 49.174805°		 ← 67.94 m → N 77.147391°
E 49.177551°		 →
↑
67.91 m
↓
↑
67.91 m
↓
N 77.146780°
E 49.174805°		 ← 67.94 m →
4 614 m²		 N 77.146780°
E 49.177551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636600494384766 y=0.152469635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636600494384766 × 217)
    floor (0.636600494384766 × 131072)
    floor (83440.5)     		tx = 83440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152469635009766 × 217)
    floor (0.152469635009766 × 131072)
    floor (19984.5)     		ty = 19984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83440 / 19984 ti = "17/83440/19984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83440/19984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83440 ÷ 217
    83440 ÷ 131072     		x = 0.6365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19984 ÷ 217
    19984 ÷ 131072     		y = 0.1524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6365966796875 × 2 - 1) × π
    0.273193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85826225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1524658203125 × 2 - 1) × π
    0.695068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1836216514928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85826225} λ = 0.85826225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1836216514928))-π/2
    2×atan(8.87840258275622)-π/2
    2×1.45863615291129-π/2
    2.91727230582259-1.57079632675     		φ = 1.34647598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85826225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.174805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34647598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.147391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83440 KachelY 19984 0.85826225 1.34647598 49.174805 77.147391
    Oben rechts KachelX + 1 83441 KachelY 19984 0.85831019 1.34647598 49.177551 77.147391
    Unten links KachelX 83440 KachelY + 1 19985 0.85826225 1.34646532 49.174805 77.146780
    Unten rechts KachelX + 1 83441 KachelY + 1 19985 0.85831019 1.34646532 49.177551 77.146780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34647598-1.34646532) × R
    1.06599999998291e-05 × 6371000     		dl = 67.9148599989115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34647598-1.34646532) × R
    1.06599999998291e-05 × 6371000     		dr = 67.9148599989115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85826225-0.85831019) × cos(1.34647598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222443788713977 × 6371000     		do = 67.9400587763256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85826225-0.85831019) × cos(1.34646532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222454181620548 × 6371000     		du = 67.9432330375057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34647598)-sin(1.34646532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222443788713977-0.222454181620548)×R²
    abs(0.85831019-0.85826225)×1.03929065706776e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03929065706776e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03929065706776e-05×40589641000000     		ar = 4614.24736989034m²