Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8344 / 6104
↖ ↑ ↗
← N 41.640078°
E  3.339844°		 ← 1 825.94 m → N 41.640078°
E  3.361817°		 →
↑
1 826.18 m
↓
↑
1 826.18 m
↓
N 41.623655°
E  3.339844°		 ← 1 826.41 m →
3 334 933 m²		 N 41.623655°
E  3.361817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509307861328125 y=0.372589111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509307861328125 × 214)
    floor (0.509307861328125 × 16384)
    floor (8344.5)     		tx = 8344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372589111328125 × 214)
    floor (0.372589111328125 × 16384)
    floor (6104.5)     		ty = 6104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8344 / 6104 ti = "14/8344/6104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8344/6104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8344 ÷ 214
    8344 ÷ 16384     		x = 0.50927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6104 ÷ 214
    6104 ÷ 16384     		y = 0.37255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50927734375 × 2 - 1) × π
    0.0185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05829127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37255859375 × 2 - 1) × π
    0.2548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.800737971253418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05829127} λ = 0.05829127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.800737971253418))-π/2
    2×atan(2.22718391988664)-π/2
    2×1.14877639768948-π/2
    2.29755279537896-1.57079632675     		φ = 0.72675647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05829127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.339844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72675647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.640078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8344 KachelY 6104 0.05829127 0.72675647 3.339844 41.640078
    Oben rechts KachelX + 1 8345 KachelY 6104 0.05867477 0.72675647 3.361817 41.640078
    Unten links KachelX 8344 KachelY + 1 6105 0.05829127 0.72646983 3.339844 41.623655
    Unten rechts KachelX + 1 8345 KachelY + 1 6105 0.05867477 0.72646983 3.361817 41.623655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72675647-0.72646983) × R
    0.000286640000000005 × 6371000     		dl = 1826.18344000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72675647-0.72646983) × R
    0.000286640000000005 × 6371000     		dr = 1826.18344000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05829127-0.05867477) × cos(0.72675647) × R
    0.000383500000000002 × 0.747333490424122 × 6371000     		do = 1825.94384948322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05829127-0.05867477) × cos(0.72646983) × R
    0.000383500000000002 × 0.747523917420415 × 6371000     		du = 1826.40911566909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72675647)-sin(0.72646983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747333490424122-0.747523917420415)×R²
    abs(0.05867477-0.05829127)×0.000190426996293236×R²
    0.000383500000000002×0.000190426996293236×6371000²
    0.000383500000000002×0.000190426996293236×40589641000000     		ar = 3334933.27383153m²