Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8344 / 24920
↖ ↑ ↗
← N 39.537940°
W134.165039°		 ← 471.04 m → N 39.537940°
W134.159546°		 →
↑
471.07 m
↓
↑
471.07 m
↓
N 39.533703°
W134.165039°		 ← 471.07 m →
221 901 m²		 N 39.533703°
W134.159546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127326965332031 y=0.380256652832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127326965332031 × 216)
    floor (0.127326965332031 × 65536)
    floor (8344.5)     		tx = 8344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380256652832031 × 216)
    floor (0.380256652832031 × 65536)
    floor (24920.5)     		ty = 24920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8344 / 24920 ti = "16/8344/24920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8344/24920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8344 ÷ 216
    8344 ÷ 65536     		x = 0.1273193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24920 ÷ 216
    24920 ÷ 65536     		y = 0.3802490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1273193359375 × 2 - 1) × π
    -0.745361328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34162167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3802490234375 × 2 - 1) × π
    0.239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.752417576436401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34162167} λ = -2.34162167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752417576436401))-π/2
    2×atan(2.12212421754664)-π/2
    2×1.13043177739338-π/2
    2.26086355478677-1.57079632675     		φ = 0.69006723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34162167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69006723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.537940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8344 KachelY 24920 -2.34162167 0.69006723 -134.165039 39.537940
    Oben rechts KachelX + 1 8345 KachelY 24920 -2.34152580 0.69006723 -134.159546 39.537940
    Unten links KachelX 8344 KachelY + 1 24921 -2.34162167 0.68999329 -134.165039 39.533703
    Unten rechts KachelX + 1 8345 KachelY + 1 24921 -2.34152580 0.68999329 -134.159546 39.533703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69006723-0.68999329) × R
    7.39400000000501e-05 × 6371000     		dl = 471.071740000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69006723-0.68999329) × R
    7.39400000000501e-05 × 6371000     		dr = 471.071740000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34162167--2.34152580) × cos(0.69006723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.771203218859411 × 6371000     		do = 471.041494263951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34162167--2.34152580) × cos(0.68999329) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.771250286144237 × 6371000     		du = 471.07024238589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69006723)-sin(0.68999329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771203218859411-0.771250286144237)×R²
    abs(-2.34152580--2.34162167)×4.70672848259523e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70672848259523e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70672848259523e-05×40589641000000     		ar = 221901.10762986m²