Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83439 / 20211
↖ ↑ ↗
← N 77.007964°
E 49.172058°		 ← 68.66 m → N 77.007964°
E 49.174805°		 →
↑
68.62 m
↓
↑
68.62 m
↓
N 77.007347°
E 49.172058°		 ← 68.67 m →
4 712 m²		 N 77.007347°
E 49.174805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636592864990234 y=0.154201507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636592864990234 × 217)
    floor (0.636592864990234 × 131072)
    floor (83439.5)     		tx = 83439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154201507568359 × 217)
    floor (0.154201507568359 × 131072)
    floor (20211.5)     		ty = 20211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83439 / 20211 ti = "17/83439/20211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83439/20211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83439 ÷ 217
    83439 ÷ 131072     		x = 0.636589050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20211 ÷ 217
    20211 ÷ 131072     		y = 0.154197692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636589050292969 × 2 - 1) × π
    0.273178100585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.85821431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154197692871094 × 2 - 1) × π
    0.691604614257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.17273997527905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85821431} λ = 0.85821431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17273997527905))-π/2
    2×atan(8.78231442879999)-π/2
    2×1.4574194307392-π/2
    2.9148388614784-1.57079632675     		φ = 1.34404253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85821431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.172058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34404253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.007964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83439 KachelY 20211 0.85821431 1.34404253 49.172058 77.007964
    Oben rechts KachelX + 1 83440 KachelY 20211 0.85826225 1.34404253 49.174805 77.007964
    Unten links KachelX 83439 KachelY + 1 20212 0.85821431 1.34403176 49.172058 77.007347
    Unten rechts KachelX + 1 83440 KachelY + 1 20212 0.85826225 1.34403176 49.174805 77.007347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34404253-1.34403176) × R
    1.07700000000488e-05 × 6371000     		dl = 68.6156700003109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34404253-1.34403176) × R
    1.07700000000488e-05 × 6371000     		dr = 68.6156700003109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85821431-0.85826225) × cos(1.34404253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22481560892047 × 6371000     		do = 68.6644737180401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85821431-0.85826225) × cos(1.34403176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224826103209701 × 6371000     		du = 68.6676789440941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34404253)-sin(1.34403176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22481560892047-0.224826103209701)×R²
    abs(0.85826225-0.85821431)×1.04942892306115e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04942892306115e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04942892306115e-05×40589641000000     		ar = 4711.5688338698m²