Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83437 / 20209
↖ ↑ ↗
← N 77.009200°
E 49.166565°		 ← 68.66 m → N 77.009200°
E 49.169312°		 →
↑
68.68 m
↓
↑
68.68 m
↓
N 77.008582°
E 49.166565°		 ← 68.66 m →
4 716 m²		 N 77.008582°
E 49.169312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636577606201172 y=0.154186248779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636577606201172 × 217)
    floor (0.636577606201172 × 131072)
    floor (83437.5)     		tx = 83437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154186248779297 × 217)
    floor (0.154186248779297 × 131072)
    floor (20209.5)     		ty = 20209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83437 / 20209 ti = "17/83437/20209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83437/20209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83437 ÷ 217
    83437 ÷ 131072     		x = 0.636573791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20209 ÷ 217
    20209 ÷ 131072     		y = 0.154182434082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636573791503906 × 2 - 1) × π
    0.273147583007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.85811844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154182434082031 × 2 - 1) × π
    0.691635131835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.17283584907829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85811844} λ = 0.85811844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17283584907829))-π/2
    2×atan(8.78315646301427)-π/2
    2×1.45743020719889-π/2
    2.91486041439777-1.57079632675     		φ = 1.34406409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85811844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.166565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34406409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.009200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83437 KachelY 20209 0.85811844 1.34406409 49.166565 77.009200
    Oben rechts KachelX + 1 83438 KachelY 20209 0.85816638 1.34406409 49.169312 77.009200
    Unten links KachelX 83437 KachelY + 1 20210 0.85811844 1.34405331 49.166565 77.008582
    Unten rechts KachelX + 1 83438 KachelY + 1 20210 0.85816638 1.34405331 49.169312 77.008582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34406409-1.34405331) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dl = 68.6793799999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34406409-1.34405331) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dr = 68.6793799999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85811844-0.85816638) × cos(1.34406409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224794600775656 × 6371000     		do = 68.6580572898642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85811844-0.85816638) × cos(1.34405331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224805104861125 × 6371000     		du = 68.6612655079416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34406409)-sin(1.34405331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224794600775656-0.224805104861125)×R²
    abs(0.85816638-0.85811844)×1.05040854692928e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05040854692928e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05040854692928e-05×40589641000000     		ar = 4715.50297593005m²