Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83434 / 20222
↖ ↑ ↗
← N 77.001171°
E 49.158325°		 ← 68.70 m → N 77.001171°
E 49.161072°		 →
↑
68.74 m
↓
↑
68.74 m
↓
N 77.000553°
E 49.158325°		 ← 68.70 m →
4 723 m²		 N 77.000553°
E 49.161072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636554718017578 y=0.154285430908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636554718017578 × 217)
    floor (0.636554718017578 × 131072)
    floor (83434.5)     		tx = 83434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154285430908203 × 217)
    floor (0.154285430908203 × 131072)
    floor (20222.5)     		ty = 20222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83434 / 20222 ti = "17/83434/20222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83434/20222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83434 ÷ 217
    83434 ÷ 131072     		x = 0.636550903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20222 ÷ 217
    20222 ÷ 131072     		y = 0.154281616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636550903320312 × 2 - 1) × π
    0.273101806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85797463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154281616210938 × 2 - 1) × π
    0.691436767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17221266938322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85797463} λ = 0.85797463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17221266938322))-π/2
    2×atan(8.77768468337604)-π/2
    2×1.45736014221237-π/2
    2.91472028442475-1.57079632675     		φ = 1.34392396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85797463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.158325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34392396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.001171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83434 KachelY 20222 0.85797463 1.34392396 49.158325 77.001171
    Oben rechts KachelX + 1 83435 KachelY 20222 0.85802257 1.34392396 49.161072 77.001171
    Unten links KachelX 83434 KachelY + 1 20223 0.85797463 1.34391317 49.158325 77.000553
    Unten rechts KachelX + 1 83435 KachelY + 1 20223 0.85802257 1.34391317 49.161072 77.000553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34392396-1.34391317) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dl = 68.7430899995365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34392396-1.34391317) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dr = 68.7430899995365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85797463-0.85802257) × cos(1.34392396) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.22493114210497 × 6371000     		do = 68.6997605265697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85797463-0.85802257) × cos(1.34391317) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.224941655594475 × 6371000     		du = 68.7029716168819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34392396)-sin(1.34391317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22493114210497-0.224941655594475)×R²
    abs(0.85802257-0.85797463)×1.05134895054815e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.05134895054815e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05134895054815e-05×40589641000000     		ar = 4722.74419089237m²