Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83433 / 20199
↖ ↑ ↗
← N 77.015372°
E 49.155578°		 ← 68.63 m → N 77.015372°
E 49.158325°		 →
↑
68.62 m
↓
↑
68.62 m
↓
N 77.014755°
E 49.155578°		 ← 68.63 m →
4 709 m²		 N 77.014755°
E 49.158325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636547088623047 y=0.154109954833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636547088623047 × 217)
    floor (0.636547088623047 × 131072)
    floor (83433.5)     		tx = 83433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154109954833984 × 217)
    floor (0.154109954833984 × 131072)
    floor (20199.5)     		ty = 20199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83433 / 20199 ti = "17/83433/20199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83433/20199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83433 ÷ 217
    83433 ÷ 131072     		x = 0.636543273925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20199 ÷ 217
    20199 ÷ 131072     		y = 0.154106140136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636543273925781 × 2 - 1) × π
    0.273086547851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.85792669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154106140136719 × 2 - 1) × π
    0.691787719726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.17331521807449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85792669} λ = 0.85792669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17331521807449))-π/2
    2×atan(8.7873678452338)-π/2
    2×1.45748407439874-π/2
    2.91496814879747-1.57079632675     		φ = 1.34417182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85792669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.155578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34417182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.015372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83433 KachelY 20199 0.85792669 1.34417182 49.155578 77.015372
    Oben rechts KachelX + 1 83434 KachelY 20199 0.85797463 1.34417182 49.158325 77.015372
    Unten links KachelX 83433 KachelY + 1 20200 0.85792669 1.34416105 49.155578 77.014755
    Unten rechts KachelX + 1 83434 KachelY + 1 20200 0.85797463 1.34416105 49.158325 77.014755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34417182-1.34416105) × R
    1.07699999998268e-05 × 6371000     		dl = 68.6156699988962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34417182-1.34416105) × R
    1.07699999998268e-05 × 6371000     		dr = 68.6156699988962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85792669-0.85797463) × cos(1.34417182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224689626694525 × 6371000     		do = 68.6259955034542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85792669-0.85797463) × cos(1.34416105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224700121296721 × 6371000     		du = 68.6292008250957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34417182)-sin(1.34416105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224689626694525-0.224700121296721)×R²
    abs(0.85797463-0.85792669)×1.04946021952379e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04946021952379e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04946021952379e-05×40589641000000     		ar = 4708.9286284882m²