Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83432 / 20203
↖ ↑ ↗
← N 77.012903°
E 49.152832°		 ← 68.62 m → N 77.012903°
E 49.155578°		 →
↑
68.62 m
↓
↑
68.62 m
↓
N 77.012286°
E 49.152832°		 ← 68.63 m →
4 709 m²		 N 77.012286°
E 49.155578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636539459228516 y=0.154140472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636539459228516 × 217)
    floor (0.636539459228516 × 131072)
    floor (83432.5)     		tx = 83432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154140472412109 × 217)
    floor (0.154140472412109 × 131072)
    floor (20203.5)     		ty = 20203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83432 / 20203 ti = "17/83432/20203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83432/20203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83432 ÷ 217
    83432 ÷ 131072     		x = 0.63653564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20203 ÷ 217
    20203 ÷ 131072     		y = 0.154136657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63653564453125 × 2 - 1) × π
    0.2730712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85787876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154136657714844 × 2 - 1) × π
    0.691726684570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.17312347047601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85787876} λ = 0.85787876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17312347047601))-π/2
    2×atan(8.78568305008539)-π/2
    2×1.45746253053815-π/2
    2.91492506107631-1.57079632675     		φ = 1.34412873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85787876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.152832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34412873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.012903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83432 KachelY 20203 0.85787876 1.34412873 49.152832 77.012903
    Oben rechts KachelX + 1 83433 KachelY 20203 0.85792669 1.34412873 49.155578 77.012903
    Unten links KachelX 83432 KachelY + 1 20204 0.85787876 1.34411796 49.152832 77.012286
    Unten rechts KachelX + 1 83433 KachelY + 1 20204 0.85792669 1.34411796 49.155578 77.012286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34412873-1.34411796) × R
    1.07700000000488e-05 × 6371000     		dl = 68.6156700003109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34412873-1.34411796) × R
    1.07700000000488e-05 × 6371000     		dr = 68.6156700003109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85787876-0.85792669) × cos(1.34412873) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224731614691127 × 6371000     		do = 68.6245020673025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85787876-0.85792669) × cos(1.34411796) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224742109189037 × 6371000     		du = 68.6277066884879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34412873)-sin(1.34411796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224731614691127-0.224742109189037)×R²
    abs(0.85792669-0.85787876)×1.04944979094634e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04944979094634e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04944979094634e-05×40589641000000     		ar = 4708.82613132789m²