Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83431 / 20537
↖ ↑ ↗
← N 76.805128°
E 49.150086°		 ← 69.72 m → N 76.805128°
E 49.152832°		 →
↑
69.76 m
↓
↑
69.76 m
↓
N 76.804501°
E 49.150086°		 ← 69.72 m →
4 864 m²		 N 76.804501°
E 49.152832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636531829833984 y=0.156688690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636531829833984 × 217)
    floor (0.636531829833984 × 131072)
    floor (83431.5)     		tx = 83431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156688690185547 × 217)
    floor (0.156688690185547 × 131072)
    floor (20537.5)     		ty = 20537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83431 / 20537 ti = "17/83431/20537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83431/20537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83431 ÷ 217
    83431 ÷ 131072     		x = 0.636528015136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20537 ÷ 217
    20537 ÷ 131072     		y = 0.156684875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636528015136719 × 2 - 1) × π
    0.273056030273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.85783082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156684875488281 × 2 - 1) × π
    0.686630249023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.15711254600291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85783082} λ = 0.85783082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15711254600291))-π/2
    2×atan(8.64613625993677)-π/2
    2×1.45564934674097-π/2
    2.91129869348194-1.57079632675     		φ = 1.34050237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85783082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.150086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34050237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.805128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83431 KachelY 20537 0.85783082 1.34050237 49.150086 76.805128
    Oben rechts KachelX + 1 83432 KachelY 20537 0.85787876 1.34050237 49.152832 76.805128
    Unten links KachelX 83431 KachelY + 1 20538 0.85783082 1.34049142 49.150086 76.804501
    Unten rechts KachelX + 1 83432 KachelY + 1 20538 0.85787876 1.34049142 49.152832 76.804501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34050237-1.34049142) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dl = 69.7624500004146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34050237-1.34049142) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dr = 69.7624500004146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85783082-0.85787876) × cos(1.34050237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228263729534004 × 6371000     		do = 69.7176185080372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85783082-0.85787876) × cos(1.34049142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228274390433063 × 6371000     		du = 69.7208746210216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34050237)-sin(1.34049142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228263729534004-0.228274390433063)×R²
    abs(0.85787876-0.85783082)×1.06608990596557e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06608990596557e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06608990596557e-05×40589641000000     		ar = 4863.78545244013m²