Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83431 / 20198
↖ ↑ ↗
← N 77.015989°
E 49.150086°		 ← 68.62 m → N 77.015989°
E 49.152832°		 →
↑
68.62 m
↓
↑
68.62 m
↓
N 77.015372°
E 49.150086°		 ← 68.63 m →
4 709 m²		 N 77.015372°
E 49.152832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636531829833984 y=0.154102325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636531829833984 × 217)
    floor (0.636531829833984 × 131072)
    floor (83431.5)     		tx = 83431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154102325439453 × 217)
    floor (0.154102325439453 × 131072)
    floor (20198.5)     		ty = 20198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83431 / 20198 ti = "17/83431/20198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83431/20198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83431 ÷ 217
    83431 ÷ 131072     		x = 0.636528015136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20198 ÷ 217
    20198 ÷ 131072     		y = 0.154098510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636528015136719 × 2 - 1) × π
    0.273056030273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.85783082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154098510742188 × 2 - 1) × π
    0.691802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17336315497411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85783082} λ = 0.85783082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17336315497411))-π/2
    2×atan(8.78778909450074)-π/2
    2×1.45748945973495-π/2
    2.9149789194699-1.57079632675     		φ = 1.34418259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85783082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.150086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34418259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.015989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83431 KachelY 20198 0.85783082 1.34418259 49.150086 77.015989
    Oben rechts KachelX + 1 83432 KachelY 20198 0.85787876 1.34418259 49.152832 77.015989
    Unten links KachelX 83431 KachelY + 1 20199 0.85783082 1.34417182 49.150086 77.015372
    Unten rechts KachelX + 1 83432 KachelY + 1 20199 0.85787876 1.34417182 49.152832 77.015372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34418259-1.34417182) × R
    1.07700000000488e-05 × 6371000     		dl = 68.6156700003109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34418259-1.34417182) × R
    1.07700000000488e-05 × 6371000     		dr = 68.6156700003109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85783082-0.85787876) × cos(1.34418259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224679132066268 × 6371000     		do = 68.6227901738525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85783082-0.85787876) × cos(1.34417182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224689626694525 × 6371000     		du = 68.6259955034542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34418259)-sin(1.34417182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224679132066268-0.224689626694525)×R²
    abs(0.85787876-0.85783082)×1.04946282578344e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04946282578344e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04946282578344e-05×40589641000000     		ar = 4708.70869308818m²