Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8343 / 6103
↖ ↑ ↗
← N 41.656497°
E  3.317871°		 ← 1 825.48 m → N 41.656497°
E  3.339844°		 →
↑
1 825.67 m
↓
↑
1 825.67 m
↓
N 41.640078°
E  3.317871°		 ← 1 825.94 m →
3 333 153 m²		 N 41.640078°
E  3.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509246826171875 y=0.372528076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509246826171875 × 214)
    floor (0.509246826171875 × 16384)
    floor (8343.5)     		tx = 8343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372528076171875 × 214)
    floor (0.372528076171875 × 16384)
    floor (6103.5)     		ty = 6103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8343 / 6103 ti = "14/8343/6103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8343/6103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8343 ÷ 214
    8343 ÷ 16384     		x = 0.50921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6103 ÷ 214
    6103 ÷ 16384     		y = 0.37249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50921630859375 × 2 - 1) × π
    0.0184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05790777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37249755859375 × 2 - 1) × π
    0.2550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.801121466450378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05790777} λ = 0.05790777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801121466450378))-π/2
    2×atan(2.22803819801798)-π/2
    2×1.14891967883402-π/2
    2.29783935766805-1.57079632675     		φ = 0.72704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05790777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.317871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.656497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8343 KachelY 6103 0.05790777 0.72704303 3.317871 41.656497
    Oben rechts KachelX + 1 8344 KachelY 6103 0.05829127 0.72704303 3.339844 41.656497
    Unten links KachelX 8343 KachelY + 1 6104 0.05790777 0.72675647 3.317871 41.640078
    Unten rechts KachelX + 1 8344 KachelY + 1 6104 0.05829127 0.72675647 3.339844 41.640078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72704303-0.72675647) × R
    0.000286560000000047 × 6371000     		dl = 1825.6737600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72704303-0.72675647) × R
    0.000286560000000047 × 6371000     		dr = 1825.6737600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05790777-0.05829127) × cos(0.72704303) × R
    0.000383500000000002 × 0.747143055198113 × 6371000     		do = 1825.47856318987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05790777-0.05829127) × cos(0.72675647) × R
    0.000383500000000002 × 0.747333490424122 × 6371000     		du = 1825.94384948322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72704303)-sin(0.72675647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747143055198113-0.747333490424122)×R²
    abs(0.05829127-0.05790777)×0.000190435226009367×R²
    0.000383500000000002×0.000190435226009367×6371000²
    0.000383500000000002×0.000190435226009367×40589641000000     		ar = 3333153.06555588m²