Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8343 / 6088
↖ ↑ ↗
← N 41.902277°
E  3.317871°		 ← 1 818.50 m → N 41.902277°
E  3.339844°		 →
↑
1 818.73 m
↓
↑
1 818.73 m
↓
N 41.885921°
E  3.317871°		 ← 1 818.96 m →
3 307 775 m²		 N 41.885921°
E  3.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509246826171875 y=0.371612548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509246826171875 × 214)
    floor (0.509246826171875 × 16384)
    floor (8343.5)     		tx = 8343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.371612548828125 × 214)
    floor (0.371612548828125 × 16384)
    floor (6088.5)     		ty = 6088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8343 / 6088 ti = "14/8343/6088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8343/6088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8343 ÷ 214
    8343 ÷ 16384     		x = 0.50921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6088 ÷ 214
    6088 ÷ 16384     		y = 0.37158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50921630859375 × 2 - 1) × π
    0.0184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05790777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37158203125 × 2 - 1) × π
    0.2568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.806873894404785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05790777} λ = 0.05790777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.806873894404785))-π/2
    2×atan(2.24089176138622)-π/2
    2×1.15106451261269-π/2
    2.30212902522537-1.57079632675     		φ = 0.73133270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05790777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.317871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73133270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.902277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8343 KachelY 6088 0.05790777 0.73133270 3.317871 41.902277
    Oben rechts KachelX + 1 8344 KachelY 6088 0.05829127 0.73133270 3.339844 41.902277
    Unten links KachelX 8343 KachelY + 1 6089 0.05790777 0.73104723 3.317871 41.885921
    Unten rechts KachelX + 1 8344 KachelY + 1 6089 0.05829127 0.73104723 3.339844 41.885921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73133270-0.73104723) × R
    0.000285469999999899 × 6371000     		dl = 1818.72936999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73133270-0.73104723) × R
    0.000285469999999899 × 6371000     		dr = 1818.72936999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05790777-0.05829127) × cos(0.73133270) × R
    0.000383500000000002 × 0.744285003697341 × 6371000     		do = 1818.49554740614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05790777-0.05829127) × cos(0.73104723) × R
    0.000383500000000002 × 0.744475627971783 × 6371000     		du = 1818.96129559746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73133270)-sin(0.73104723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744285003697341-0.744475627971783)×R²
    abs(0.05829127-0.05790777)×0.000190624274442275×R²
    0.000383500000000002×0.000190624274442275×6371000²
    0.000383500000000002×0.000190624274442275×40589641000000     		ar = 3307774.81870295m²