Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83427 / 20186
↖ ↑ ↗
← N 77.023392°
E 49.139099°		 ← 68.58 m → N 77.023392°
E 49.141846°		 →
↑
68.55 m
↓
↑
68.55 m
↓
N 77.022776°
E 49.139099°		 ← 68.59 m →
4 702 m²		 N 77.022776°
E 49.141846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636501312255859 y=0.154010772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636501312255859 × 217)
    floor (0.636501312255859 × 131072)
    floor (83427.5)     		tx = 83427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154010772705078 × 217)
    floor (0.154010772705078 × 131072)
    floor (20186.5)     		ty = 20186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83427 / 20186 ti = "17/83427/20186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83427/20186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83427 ÷ 217
    83427 ÷ 131072     		x = 0.636497497558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20186 ÷ 217
    20186 ÷ 131072     		y = 0.154006958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636497497558594 × 2 - 1) × π
    0.272994995117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.85763907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154006958007812 × 2 - 1) × π
    0.691986083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17393839776955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85763907} λ = 0.85763907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17393839776955))-π/2
    2×atan(8.79284566110252)-π/2
    2×1.4575540641518-π/2
    2.9151081283036-1.57079632675     		φ = 1.34431180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85763907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.139099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34431180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.023392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83427 KachelY 20186 0.85763907 1.34431180 49.139099 77.023392
    Oben rechts KachelX + 1 83428 KachelY 20186 0.85768701 1.34431180 49.141846 77.023392
    Unten links KachelX 83427 KachelY + 1 20187 0.85763907 1.34430104 49.139099 77.022776
    Unten rechts KachelX + 1 83428 KachelY + 1 20187 0.85768701 1.34430104 49.141846 77.022776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34431180-1.34430104) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dl = 68.5519600006981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34431180-1.34430104) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dr = 68.5519600006981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85763907-0.85768701) × cos(1.34431180) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.224553223728605 × 6371000     		do = 68.5843345268084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85763907-0.85768701) × cos(1.34430104) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.22456370892485 × 6371000     		du = 68.5875369756307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34431180)-sin(1.34430104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224553223728605-0.22456370892485)×R²
    abs(0.85768701-0.85763907)×1.04851962451358e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.04851962451358e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.04851962451358e-05×40589641000000     		ar = 4701.70032421212m²