Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83424 / 20192
↖ ↑ ↗
← N 77.019692°
E 49.130859°		 ← 68.60 m → N 77.019692°
E 49.133606°		 →
↑
68.62 m
↓
↑
68.62 m
↓
N 77.019075°
E 49.130859°		 ← 68.61 m →
4 707 m²		 N 77.019075°
E 49.133606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636478424072266 y=0.154056549072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636478424072266 × 217)
    floor (0.636478424072266 × 131072)
    floor (83424.5)     		tx = 83424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154056549072266 × 217)
    floor (0.154056549072266 × 131072)
    floor (20192.5)     		ty = 20192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83424 / 20192 ti = "17/83424/20192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83424/20192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83424 ÷ 217
    83424 ÷ 131072     		x = 0.636474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20192 ÷ 217
    20192 ÷ 131072     		y = 0.154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636474609375 × 2 - 1) × π
    0.27294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85749526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154052734375 × 2 - 1) × π
    0.69189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17365077637183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85749526} λ = 0.85749526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17365077637183))-π/2
    2×atan(8.79031701420744)-π/2
    2×1.45752176647008-π/2
    2.91504353294016-1.57079632675     		φ = 1.34424721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85749526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.130859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34424721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.019692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83424 KachelY 20192 0.85749526 1.34424721 49.130859 77.019692
    Oben rechts KachelX + 1 83425 KachelY 20192 0.85754320 1.34424721 49.133606 77.019692
    Unten links KachelX 83424 KachelY + 1 20193 0.85749526 1.34423644 49.130859 77.019075
    Unten rechts KachelX + 1 83425 KachelY + 1 20193 0.85754320 1.34423644 49.133606 77.019075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34424721-1.34423644) × R
    1.07700000000488e-05 × 6371000     		dl = 68.6156700003109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34424721-1.34423644) × R
    1.07700000000488e-05 × 6371000     		dr = 68.6156700003109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85749526-0.85754320) × cos(1.34424721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224616163749478 × 6371000     		do = 68.6035580291006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85749526-0.85754320) × cos(1.34423644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224626658534085 × 6371000     		du = 68.6067634064553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34424721)-sin(1.34423644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224616163749478-0.224626658534085)×R²
    abs(0.85754320-0.85749526)×1.0494784606685e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0494784606685e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0494784606685e-05×40589641000000     		ar = 4707.38906815807m²