Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83421 / 20191
↖ ↑ ↗
← N 77.020308°
E 49.122620°		 ← 68.60 m → N 77.020308°
E 49.125366°		 →
↑
68.55 m
↓
↑
68.55 m
↓
N 77.019692°
E 49.122620°		 ← 68.60 m →
4 703 m²		 N 77.019692°
E 49.125366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636455535888672 y=0.154048919677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636455535888672 × 217)
    floor (0.636455535888672 × 131072)
    floor (83421.5)     		tx = 83421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154048919677734 × 217)
    floor (0.154048919677734 × 131072)
    floor (20191.5)     		ty = 20191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83421 / 20191 ti = "17/83421/20191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83421/20191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83421 ÷ 217
    83421 ÷ 131072     		x = 0.636451721191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20191 ÷ 217
    20191 ÷ 131072     		y = 0.154045104980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636451721191406 × 2 - 1) × π
    0.272903442382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.85735145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154045104980469 × 2 - 1) × π
    0.691909790039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.17369871327145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85735145} λ = 0.85735145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17369871327145))-π/2
    2×atan(8.79073840485178)-π/2
    2×1.45752715004568-π/2
    2.91505430009135-1.57079632675     		φ = 1.34425797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85735145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.122620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34425797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.020308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83421 KachelY 20191 0.85735145 1.34425797 49.122620 77.020308
    Oben rechts KachelX + 1 83422 KachelY 20191 0.85739939 1.34425797 49.125366 77.020308
    Unten links KachelX 83421 KachelY + 1 20192 0.85735145 1.34424721 49.122620 77.019692
    Unten rechts KachelX + 1 83422 KachelY + 1 20192 0.85739939 1.34424721 49.125366 77.019692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34425797-1.34424721) × R
    1.07599999998875e-05 × 6371000     		dl = 68.5519599992834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34425797-1.34424721) × R
    1.07599999998875e-05 × 6371000     		dr = 68.5519599992834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85735145-0.85739939) × cos(1.34425797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224605678683315 × 6371000     		do = 68.6003556200088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85735145-0.85739939) × cos(1.34424721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224616163749478 × 6371000     		du = 68.6035580291006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34425797)-sin(1.34424721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224605678683315-0.224616163749478)×R²
    abs(0.85739939-0.85735145)×1.04850661630518e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04850661630518e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04850661630518e-05×40589641000000     		ar = 4702.79860021643m²