Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8342 / 6105
↖ ↑ ↗
← N 41.623655°
E  3.295898°		 ← 1 826.36 m → N 41.623655°
E  3.317871°		 →
↑
1 826.63 m
↓
↑
1 826.63 m
↓
N 41.607228°
E  3.295898°		 ← 1 826.83 m →
3 336 511 m²		 N 41.607228°
E  3.317871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509185791015625 y=0.372650146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509185791015625 × 214)
    floor (0.509185791015625 × 16384)
    floor (8342.5)     		tx = 8342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372650146484375 × 214)
    floor (0.372650146484375 × 16384)
    floor (6105.5)     		ty = 6105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8342 / 6105 ti = "14/8342/6105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8342/6105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8342 ÷ 214
    8342 ÷ 16384     		x = 0.5091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6105 ÷ 214
    6105 ÷ 16384     		y = 0.37261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5091552734375 × 2 - 1) × π
    0.018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05752428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37261962890625 × 2 - 1) × π
    0.2547607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.800354476056457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05752428} λ = 0.05752428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.800354476056457))-π/2
    2×atan(2.22632996930406)-π/2
    2×1.14863308003038-π/2
    2.29726616006076-1.57079632675     		φ = 0.72646983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05752428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.295898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72646983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.623655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8342 KachelY 6105 0.05752428 0.72646983 3.295898 41.623655
    Oben rechts KachelX + 1 8343 KachelY 6105 0.05790777 0.72646983 3.317871 41.623655
    Unten links KachelX 8342 KachelY + 1 6106 0.05752428 0.72618312 3.295898 41.607228
    Unten rechts KachelX + 1 8343 KachelY + 1 6106 0.05790777 0.72618312 3.317871 41.607228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72646983-0.72618312) × R
    0.000286710000000023 × 6371000     		dl = 1826.62941000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72646983-0.72618312) × R
    0.000286710000000023 × 6371000     		dr = 1826.62941000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05752428-0.05790777) × cos(0.72646983) × R
    0.00038349 × 0.747523917420415 × 6371000     		do = 1826.3614909203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05752428-0.05790777) × cos(0.72618312) × R
    0.00038349 × 0.747714329479723 × 6371000     		du = 1826.82670847979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72646983)-sin(0.72618312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747523917420415-0.747714329479723)×R²
    abs(0.05790777-0.05752428)×0.000190412059307365×R²
    0.00038349×0.000190412059307365×6371000²
    0.00038349×0.000190412059307365×40589641000000     		ar = 3336510.52550079m²