Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83419 / 20154
↖ ↑ ↗
← N 77.043114°
E 49.117127°		 ← 68.47 m → N 77.043114°
E 49.119873°		 →
↑
68.42 m
↓
↑
68.42 m
↓
N 77.042498°
E 49.117127°		 ← 68.47 m →
4 685 m²		 N 77.042498°
E 49.119873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636440277099609 y=0.153766632080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636440277099609 × 217)
    floor (0.636440277099609 × 131072)
    floor (83419.5)     		tx = 83419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153766632080078 × 217)
    floor (0.153766632080078 × 131072)
    floor (20154.5)     		ty = 20154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83419 / 20154 ti = "17/83419/20154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83419/20154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83419 ÷ 217
    83419 ÷ 131072     		x = 0.636436462402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20154 ÷ 217
    20154 ÷ 131072     		y = 0.153762817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636436462402344 × 2 - 1) × π
    0.272872924804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.85725558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153762817382812 × 2 - 1) × π
    0.692474365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17547237855739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85725558} λ = 0.85725558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17547237855739))-π/2
    2×atan(8.80634406791855)-π/2
    2×1.4577261656516-π/2
    2.91545233130319-1.57079632675     		φ = 1.34465600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85725558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.117127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34465600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.043114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83419 KachelY 20154 0.85725558 1.34465600 49.117127 77.043114
    Oben rechts KachelX + 1 83420 KachelY 20154 0.85730351 1.34465600 49.119873 77.043114
    Unten links KachelX 83419 KachelY + 1 20155 0.85725558 1.34464526 49.117127 77.042498
    Unten rechts KachelX + 1 83420 KachelY + 1 20155 0.85730351 1.34464526 49.119873 77.042498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34465600-1.34464526) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dl = 68.4245400000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34465600-1.34464526) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dr = 68.4245400000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85725558-0.85730351) × cos(1.34465600) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224217800673009 × 6371000     		do = 68.4676027756872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85725558-0.85730351) × cos(1.34464526) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224228267209572 × 6371000     		du = 68.4707988585394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34465600)-sin(1.34464526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224217800673009-0.224228267209572)×R²
    abs(0.85730351-0.85725558)×1.04665365638634e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04665365638634e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04665365638634e-05×40589641000000     		ar = 4684.9735701144m²