Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83418 / 20155
↖ ↑ ↗
← N 77.042498°
E 49.114380°		 ← 68.49 m → N 77.042498°
E 49.117127°		 →
↑
68.49 m
↓
↑
68.49 m
↓
N 77.041882°
E 49.114380°		 ← 68.49 m →
4 691 m²		 N 77.041882°
E 49.117127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636432647705078 y=0.153774261474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636432647705078 × 217)
    floor (0.636432647705078 × 131072)
    floor (83418.5)     		tx = 83418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153774261474609 × 217)
    floor (0.153774261474609 × 131072)
    floor (20155.5)     		ty = 20155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83418 / 20155 ti = "17/83418/20155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83418/20155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83418 ÷ 217
    83418 ÷ 131072     		x = 0.636428833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20155 ÷ 217
    20155 ÷ 131072     		y = 0.153770446777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636428833007812 × 2 - 1) × π
    0.272857666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85720764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153770446777344 × 2 - 1) × π
    0.692459106445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.17542444165777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85720764} λ = 0.85720764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17542444165777))-π/2
    2×atan(8.80592192920503)-π/2
    2×1.45772079137307-π/2
    2.91544158274614-1.57079632675     		φ = 1.34464526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85720764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.114380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34464526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.042498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83418 KachelY 20155 0.85720764 1.34464526 49.114380 77.042498
    Oben rechts KachelX + 1 83419 KachelY 20155 0.85725558 1.34464526 49.117127 77.042498
    Unten links KachelX 83418 KachelY + 1 20156 0.85720764 1.34463451 49.114380 77.041882
    Unten rechts KachelX + 1 83419 KachelY + 1 20156 0.85725558 1.34463451 49.117127 77.041882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34464526-1.34463451) × R
    1.07500000001703e-05 × 6371000     		dl = 68.4882500010853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34464526-1.34463451) × R
    1.07500000001703e-05 × 6371000     		dr = 68.4882500010853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85720764-0.85725558) × cos(1.34464526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224228267209572 × 6371000     		do = 68.4850844413565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85720764-0.85725558) × cos(1.34463451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224238743465615 × 6371000     		du = 68.4882841596106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34464526)-sin(1.34463451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224228267209572-0.224238743465615)×R²
    abs(0.85725558-0.85720764)×1.04762560422522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04762560422522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04762560422522e-05×40589641000000     		ar = 4690.53315620011m²