Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83414 / 20021
↖ ↑ ↗
← N 77.124766°
E 49.103393°		 ← 68.06 m → N 77.124766°
E 49.106140°		 →
↑
68.11 m
↓
↑
68.11 m
↓
N 77.124153°
E 49.103393°		 ← 68.06 m →
4 635 m²		 N 77.124153°
E 49.106140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636402130126953 y=0.152751922607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636402130126953 × 217)
    floor (0.636402130126953 × 131072)
    floor (83414.5)     		tx = 83414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152751922607422 × 217)
    floor (0.152751922607422 × 131072)
    floor (20021.5)     		ty = 20021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83414 / 20021 ti = "17/83414/20021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83414/20021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83414 ÷ 217
    83414 ÷ 131072     		x = 0.636398315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20021 ÷ 217
    20021 ÷ 131072     		y = 0.152748107910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636398315429688 × 2 - 1) × π
    0.272796630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85701589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152748107910156 × 2 - 1) × π
    0.694503784179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.18184798620686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85701589} λ = 0.85701589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18184798620686))-π/2
    2×atan(8.86266922528017)-π/2
    2×1.4584387118415-π/2
    2.91687742368301-1.57079632675     		φ = 1.34608110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85701589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.103393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34608110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.124766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83414 KachelY 20021 0.85701589 1.34608110 49.103393 77.124766
    Oben rechts KachelX + 1 83415 KachelY 20021 0.85706383 1.34608110 49.106140 77.124766
    Unten links KachelX 83414 KachelY + 1 20022 0.85701589 1.34607041 49.103393 77.124153
    Unten rechts KachelX + 1 83415 KachelY + 1 20022 0.85706383 1.34607041 49.106140 77.124153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34608110-1.34607041) × R
    1.06899999998689e-05 × 6371000     		dl = 68.1059899991645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34608110-1.34607041) × R
    1.06899999998689e-05 × 6371000     		dr = 68.1059899991645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85701589-0.85706383) × cos(1.34608110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22282875784682 × 6371000     		do = 68.057638258601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85701589-0.85706383) × cos(1.34607041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222839179061855 × 6371000     		du = 68.0608211659151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34608110)-sin(1.34607041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22282875784682-0.222839179061855)×R²
    abs(0.85706383-0.85701589)×1.04212150357774e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04212150357774e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04212150357774e-05×40589641000000     		ar = 4635.24121806157m²