Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83413 / 20020
↖ ↑ ↗
← N 77.125378°
E 49.100647°		 ← 68.05 m → N 77.125378°
E 49.103393°		 →
↑
68.04 m
↓
↑
68.04 m
↓
N 77.124766°
E 49.100647°		 ← 68.06 m →
4 631 m²		 N 77.124766°
E 49.103393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636394500732422 y=0.152744293212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636394500732422 × 217)
    floor (0.636394500732422 × 131072)
    floor (83413.5)     		tx = 83413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152744293212891 × 217)
    floor (0.152744293212891 × 131072)
    floor (20020.5)     		ty = 20020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83413 / 20020 ti = "17/83413/20020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83413/20020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83413 ÷ 217
    83413 ÷ 131072     		x = 0.636390686035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20020 ÷ 217
    20020 ÷ 131072     		y = 0.152740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636390686035156 × 2 - 1) × π
    0.272781372070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.85696795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152740478515625 × 2 - 1) × π
    0.69451904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18189592310648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85696795} λ = 0.85696795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18189592310648))-π/2
    2×atan(8.86309408434833)-π/2
    2×1.45844405257668-π/2
    2.91688810515337-1.57079632675     		φ = 1.34609178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85696795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.100647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34609178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.125378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83413 KachelY 20020 0.85696795 1.34609178 49.100647 77.125378
    Oben rechts KachelX + 1 83414 KachelY 20020 0.85701589 1.34609178 49.103393 77.125378
    Unten links KachelX 83413 KachelY + 1 20021 0.85696795 1.34608110 49.100647 77.124766
    Unten rechts KachelX + 1 83414 KachelY + 1 20021 0.85701589 1.34608110 49.103393 77.124766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34609178-1.34608110) × R
    1.06800000001517e-05 × 6371000     		dl = 68.0422800009663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34609178-1.34608110) × R
    1.06800000001517e-05 × 6371000     		dr = 68.0422800009663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85696795-0.85701589) × cos(1.34609178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222818346354919 × 6371000     		do = 68.0544583209829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85696795-0.85701589) × cos(1.34608110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22282875784682 × 6371000     		du = 68.057638258601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34609178)-sin(1.34608110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222818346354919-0.22282875784682)×R²
    abs(0.85701589-0.85696795)×1.04114919002307e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04114919002307e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04114919002307e-05×40589641000000     		ar = 4630.68869358662m²