Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8341 / 6106
↖ ↑ ↗
← N 41.607228°
E  3.273926°		 ← 1 826.87 m → N 41.607228°
E  3.295898°		 →
↑
1 827.08 m
↓
↑
1 827.08 m
↓
N 41.590797°
E  3.273926°		 ← 1 827.34 m →
3 338 262 m²		 N 41.590797°
E  3.295898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509124755859375 y=0.372711181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509124755859375 × 214)
    floor (0.509124755859375 × 16384)
    floor (8341.5)     		tx = 8341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372711181640625 × 214)
    floor (0.372711181640625 × 16384)
    floor (6106.5)     		ty = 6106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8341 / 6106 ti = "14/8341/6106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8341/6106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8341 ÷ 214
    8341 ÷ 16384     		x = 0.50909423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6106 ÷ 214
    6106 ÷ 16384     		y = 0.3726806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50909423828125 × 2 - 1) × π
    0.0181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05714078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3726806640625 × 2 - 1) × π
    0.254638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.799970980859497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05714078} λ = 0.05714078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.799970980859497))-π/2
    2×atan(2.22547634614464)-π/2
    2×1.1484897258592-π/2
    2.29697945171839-1.57079632675     		φ = 0.72618312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05714078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.273926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72618312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.607228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8341 KachelY 6106 0.05714078 0.72618312 3.273926 41.607228
    Oben rechts KachelX + 1 8342 KachelY 6106 0.05752428 0.72618312 3.295898 41.607228
    Unten links KachelX 8341 KachelY + 1 6107 0.05714078 0.72589634 3.273926 41.590797
    Unten rechts KachelX + 1 8342 KachelY + 1 6107 0.05752428 0.72589634 3.295898 41.590797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72618312-0.72589634) × R
    0.000286779999999931 × 6371000     		dl = 1827.07537999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72618312-0.72589634) × R
    0.000286779999999931 × 6371000     		dr = 1827.07537999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05714078-0.05752428) × cos(0.72618312) × R
    0.000383499999999995 × 0.747714329479723 × 6371000     		do = 1826.8743453597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05714078-0.05752428) × cos(0.72589634) × R
    0.000383499999999995 × 0.747904726541378 × 6371000     		du = 1827.3395384069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72618312)-sin(0.72589634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747714329479723-0.747904726541378)×R²
    abs(0.05752428-0.05714078)×0.000190397061655578×R²
    0.000383499999999995×0.000190397061655578×6371000²
    0.000383499999999995×0.000190397061655578×40589641000000     		ar = 3338262.13302102m²